Mathematical models of physiologically structured cell populations
En aquesta tesi es té en compte un model no lineal de creixement de població de cèl·lules que s'estructuren pel seu contingut de ciclina i cinases depenents de ciclina (CDK). Aquest model condueix a un sistema no lineal d'equacions en derivades parcials de primer ordre amb termes no locals...
| Autor: | |
|---|---|
| Tipo de recurso: | tesis doctoral |
| Fecha de publicación: | 2012 |
| País: | España |
| Institución: | Universitat Autònoma de Barcelona |
| Repositorio: | Dipòsit Digital de Documents de la UAB |
| Idioma: | inglés |
| OAI Identifier: | oai:ddd.uab.cat:106181 |
| Acceso en línea: | https://ddd.uab.cat/record/106181 |
| Access Level: | acceso abierto |
| Palabra clave: | Equacions en derivades parcials Ciclines Dinàmica de poblacions Teories no-lineals |
| Sumario: | En aquesta tesi es té en compte un model no lineal de creixement de població de cèl·lules que s'estructuren pel seu contingut de ciclina i cinases depenents de ciclina (CDK). Aquest model condueix a un sistema no lineal d'equacions en derivades parcials de primer ordre amb termes no locals. Per estudiar aquest sistema utilitzem la teoria de semigrups lineals positius i la formulació semilineal, que són eines molt poderoses per fer front a l'anàlisi d'aquest tipus de models, tant des del punt de vista del problema de valor inicial, com de l'existència i l'estabilitat d'estats estacionaris. El model que es considera a la tesi descriu la següent situació biològica: les cèl·lules s'estructuren en relació amb el contingut d'un determinat grup de proteïnes anomenades ciclines i CDK i es divideixen en dos tipus: proliferants i quiescents. Les cèl·lules proliferants creixen i es divideixen, donant a lloc al final del cicle cel·lular a noves cèl·lules, o bé van cap al compartiment de les quiescents, mentre que les cèl·lules quiescents no envelleixen ni es divideixen, ni canvien el seu contingut de ciclina, però o tornen cap al compartiment de proliferació o bé romanen en l'estat de repòs. D'altra banda, tant les cèl·lules proliferants com les quiescents poden experimentar l'apoptosi, la mort cel·lular programada. L'únic terme no lineal en el model és un terme de reclutament de cèl·lules quiescents cap a la fase de proliferació. En aquest treball demostrem l'existència global, unicitat i positivitat de les solucions del problema de valor inicial. Reescrivint el nostre sistema en una forma abstracta podem demostrar que un cert operador lineal és el generador infinitesimal d'un semigrup positiu fortament continu. D'altra banda s'utilitza la formulació semilineal estàndard per a l'equació no lineal abstracta i obtenim una única solució global positiva per a qualsevol condició inicial positiva a L1. També es prova l'existència i unicitat d'un estat estacionari no trivial del nostre sistema sota hipòtesis adequades. Com es fa sovint en situacions similars, el problema és relacionat amb provar l'existència (i unicitat) d'un vector propi positiu normalitzat. Això correspon als vectors propis del valor propi dominant d'un determinat operador lineal positiu parametritzat pel valor de la variable de feedback. L'existència tant del valor propi dominant i de (l'únic) vector propi positiu està donat per una versió del teorema de Perron- Frobenius en dimensió infinita. També s'inclouen simulacions numèriques basades en la integració al llarg de les línies característiques. Amb l'ajuda d'aquestes simulacions numèriques trobem inestabilitat de l'estat estacionari per a valors de paràmetres compatibles amb els que donen inestabilitat en el model de dimensió finita. També s'inclou la demostració de l'existència de solucions independents del contingut de ciclina per a una elecció molt particular dels valors dels paràmetres i funcions que defineixen el model. Finalment s'utilitza la formulació anomenada cumulativa (o en retard) de la dinàmica de poblacións estructurades. En particular s'ha considerat una versió diferent del model estudiat abans, on es suposa que el pas de proliferants a quiescents només pot ocórrer una sola vegada, enfocament oposat al primer model on aquestes transicions poden ocórrer infinites vegades. A més a més, també suposem que hi ha un valor particular x del contingut de ciclina que separa les cèl·lules que encara no es poden dividir de les altres que sí que poden dividir-se. L'equació del model resulta ser una equació amb retard que relaciona els valors actuals d'aquestes variables amb la seva història (el seu valor en el passat). Fent servir aquest enfocament, es pot provar l'existència i unicitat de solucions del problema de valor inicial, i el principi d'estabilitat lineal a través d'una formulació semilineal en el marc dels semigrups duals. |
|---|