Forking in simple theories and CM-triviality

[cat] Aquesta tesi té tres objectius. En primer lloc, estudiem generalitzacions de la jerarquia no ample relatives a una família de tipus parcials. Aquestes jerarquies en permeten classificar la complexitat del “forking” respecte a una família de tipus parcials. Si considerem la família de tipus alg...

Full description

Bibliographic Details
Author: Palacín Cruz, Daniel
Format: doctoral thesis
Status:Published version
Publication Date:2012
Country:España
Institution:Universidad de Barcelona
Repository:Dipòsit Digital de la UB
OAI Identifier:oai:diposit.ub.edu:2445/42080
Online Access:https://hdl.handle.net/2445/42080
http://hdl.handle.net/10803/84023
Access Level:Open access
Keyword:Lògica matemàtica
Teoria de models
Mathematical logic
Model theory
id ES_e12c75c2a1eaa7885fc8cf48b01093fd
oai_identifier_str oai:diposit.ub.edu:2445/42080
network_acronym_str ES
network_name_str España
repository_id_str
dc.title.none.fl_str_mv Forking in simple theories and CM-triviality
title Forking in simple theories and CM-triviality
spellingShingle Forking in simple theories and CM-triviality
Palacín Cruz, Daniel
Lògica matemàtica
Teoria de models
Mathematical logic
Model theory
title_short Forking in simple theories and CM-triviality
title_full Forking in simple theories and CM-triviality
title_fullStr Forking in simple theories and CM-triviality
title_full_unstemmed Forking in simple theories and CM-triviality
title_sort Forking in simple theories and CM-triviality
dc.creator.none.fl_str_mv Palacín Cruz, Daniel
author Palacín Cruz, Daniel
author_facet Palacín Cruz, Daniel
author_role author
dc.contributor.none.fl_str_mv Casanovas Ruiz-Fornells, Enrique
Universitat de Barcelona. Departament de Lògica, Història i Filosofia de la Ciència
dc.subject.none.fl_str_mv Lògica matemàtica
Teoria de models
Mathematical logic
Model theory
topic Lògica matemàtica
Teoria de models
Mathematical logic
Model theory
description [cat] Aquesta tesi té tres objectius. En primer lloc, estudiem generalitzacions de la jerarquia no ample relatives a una família de tipus parcials. Aquestes jerarquies en permeten classificar la complexitat del “forking” respecte a una família de tipus parcials. Si considerem la família de tipus algebraics, aquestes generalitzacions corresponen a la jerarquia ordinària, on el primer i el segon nivell corresponen a one-basedness i a CM-trivialitat, respectivament. Fixada la família de tipus regulars “no one-based”, el primer nivell d'una d'aquestes possibles jerarquies no ample ens diu que el tipus de la base canònica sobre una realització és analitzable en la família. Demostrem que tota teoria simple amb suficients tipus regulars pertany al primer nivell de la jerarquia dèbil relativa a la família de tipus regulars no one-based. Aquest resultat generalitza una versió dèbil de la “Canonical Base Property” estudiada per Chatzidakis i Pillay. En segon lloc, discutim problemes d'eliminació de hiperimaginaris assumint que la teoria és CM-trivial, en tal cas la independència del “forking” té un bon comportament. Més concretament, demostrem que tota teoria simple CM-trivial elimina els hiperimaginaris si elimina els hiperimaginaris finitaris. En particular, tota teoria petita simple CM-trivial elimina els hiperimaginaris. Cal remarcar que totes les teories omega-categòriques simples que es coneixen són CM-trivials; en particular, aquelles teories obtingudes mitjançant una construcció de Hrushovski. Finalment, tractem problemes de classificació en les teories simples. Estudiem la classe de les teories simples baixes; classe que inclou les teories estables i les teories supersimples de D-rang finit. Demostrem que les teories simples amb pes finit acotat també pertanyen a aquesta classe. A més, provem que tota teoria omega-categòrica simple CM-trivial és baixa. Aquest darrer fet resol parcialment una pregunta formulada per Casanovas i Wagner.
publishDate 2012
dc.date.none.fl_str_mv 2012
dc.type.none.fl_str_mv info:eu-repo/semantics/doctoralThesis
info:eu-repo/semantics/publishedVersion
format doctoralThesis
status_str publishedVersion
dc.identifier.none.fl_str_mv https://hdl.handle.net/2445/42080
http://hdl.handle.net/10803/84023
url https://hdl.handle.net/2445/42080
http://hdl.handle.net/10803/84023
dc.language.none.fl_str_mv Inglés
language_invalid_str_mv Inglés
dc.rights.none.fl_str_mv cc-by-nc-nd (c) Palacín Cruz, 2012 http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/3.0/es/
http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/3.0/es/
info:eu-repo/semantics/openAccess
rights_invalid_str_mv cc-by-nc-nd (c) Palacín Cruz, 2012 http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/3.0/es/
http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/3.0/es/
eu_rights_str_mv openAccess
dc.format.none.fl_str_mv application/pdf
dc.publisher.none.fl_str_mv Universitat de Barcelona
publisher.none.fl_str_mv Universitat de Barcelona
dc.source.none.fl_str_mv Tesis Doctorals - Departament - Lògica, Història i Filosofia de la Ciència
reponame:Dipòsit Digital de la UB
instname:Universidad de Barcelona
instname_str Universidad de Barcelona
reponame_str Dipòsit Digital de la UB
collection Dipòsit Digital de la UB
repository.name.fl_str_mv
repository.mail.fl_str_mv
_version_ 1869422268995600384
spelling Forking in simple theories and CM-trivialityPalacín Cruz, DanielLògica matemàticaTeoria de modelsMathematical logicModel theory[cat] Aquesta tesi té tres objectius. En primer lloc, estudiem generalitzacions de la jerarquia no ample relatives a una família de tipus parcials. Aquestes jerarquies en permeten classificar la complexitat del “forking” respecte a una família de tipus parcials. Si considerem la família de tipus algebraics, aquestes generalitzacions corresponen a la jerarquia ordinària, on el primer i el segon nivell corresponen a one-basedness i a CM-trivialitat, respectivament. Fixada la família de tipus regulars “no one-based”, el primer nivell d'una d'aquestes possibles jerarquies no ample ens diu que el tipus de la base canònica sobre una realització és analitzable en la família. Demostrem que tota teoria simple amb suficients tipus regulars pertany al primer nivell de la jerarquia dèbil relativa a la família de tipus regulars no one-based. Aquest resultat generalitza una versió dèbil de la “Canonical Base Property” estudiada per Chatzidakis i Pillay. En segon lloc, discutim problemes d'eliminació de hiperimaginaris assumint que la teoria és CM-trivial, en tal cas la independència del “forking” té un bon comportament. Més concretament, demostrem que tota teoria simple CM-trivial elimina els hiperimaginaris si elimina els hiperimaginaris finitaris. En particular, tota teoria petita simple CM-trivial elimina els hiperimaginaris. Cal remarcar que totes les teories omega-categòriques simples que es coneixen són CM-trivials; en particular, aquelles teories obtingudes mitjançant una construcció de Hrushovski. Finalment, tractem problemes de classificació en les teories simples. Estudiem la classe de les teories simples baixes; classe que inclou les teories estables i les teories supersimples de D-rang finit. Demostrem que les teories simples amb pes finit acotat també pertanyen a aquesta classe. A més, provem que tota teoria omega-categòrica simple CM-trivial és baixa. Aquest darrer fet resol parcialment una pregunta formulada per Casanovas i Wagner.[eng] The development of first-order stable theories required two crucial abstract notions: forking independence, and the related notion of canonical base. Forking independence generalizes the linear independence in vector spaces and the algebraic independence in algebraically closed fields. On the other hand, the concept of canonical base generalizes the field of definition of an algebraic variety. The general theory of independence adapted to simple theories, a class of first-order theories which includes all stable theories and other interesting examples such as algebraically closed fields with an automorphism and the random graph. Nevertheless, in order to obtain canonical bases for simple theories, the model-theoretic development of hyperimaginaries --equivalence classes of arbitrary tuple modulo a type-definable (without parameters) equivalence relation-- was required. In the present thesis we deal with topics around the geometry of forking in simple theories. Our first goal is to study generalizations of the non ample hierarchy which will code the complexity of forking with respect to a family of partial types. We introduce two hierarchies: the non (weak) ample hierarchy with respect to a fixed family of partial types. If we work with respect to the family of bounded types, these generalizations correspond to the ordinary non ample hierarchy. Recall that in the ordinary non ample hierarchy the first and the second level correspond to one-basedness and CM-triviality, respectively. The first level of the non weak ample hierarchy with respect to some fixed family of partial types states that the type of the canonical base over a realization is analysable in the family. Considering the family of regular non one-based types, the first level of the non weak ample hierarchy corresponds to the weak version of the Canonical Base Property studied by Chatzidakis and Pillay. We generalize Chatzidakis' result showing that in any simple theory with enough regular types, the canonical base of a type over a realization is analysable in the family of regular non one-based types. We hope that this result can be useful for the applications; for instance, the Canonical Base Property plays an essential role in the proof of Mordell-Lang for function fields in characteristic zero and Manin-Mumford due to Hrushovski. Our second aim is to use combinatorial properties of forking independence to solve elimination of hyperimaginaries problems. For this we assume the theory to be simple and CM-trivial. This implies that the forking independence is well-behaved. Our goal is to prove that any simple CM-trivial theory which eliminates finitary hyperimaginaries --hyperimaginaries which are definable over a finite tuple-- eliminates all hyperimaginaries. Using a result due to Kim, small simple CM-trivial theories eliminate hyperimaginaries. It is worth mentioning that all currently known omega-categorical simple theories are CM-trivial, even those obtained by an ab initio Hrushovski construction. To conclude, we study a classification problem inside simple theories. We study the class of simple low theories, which includes all stable theories and supersimple theories of finite D-rank. In addition, we prove that it also includes the class of simple theories of bounded finite weight. Moreover, we partially solve a question posed by Casanovas and Wagner: Are all omega-categorical simple theories low? We solve affirmatively this question under the assumption of CM-triviality. In fact, our proof exemplifies that the geometry of forking independence in a possible counterexample cannot come from finite sets.Universitat de BarcelonaCasanovas Ruiz-Fornells, EnriqueUniversitat de Barcelona. Departament de Lògica, Història i Filosofia de la Ciència2012info:eu-repo/semantics/doctoralThesisinfo:eu-repo/semantics/publishedVersionapplication/pdfhttps://hdl.handle.net/2445/42080http://hdl.handle.net/10803/84023Tesis Doctorals - Departament - Lògica, Història i Filosofia de la Ciènciareponame:Dipòsit Digital de la UBinstname:Universidad de BarcelonaIngléscc-by-nc-nd (c) Palacín Cruz, 2012 http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/3.0/es/http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/3.0/es/info:eu-repo/semantics/openAccessoai:diposit.ub.edu:2445/420802026-05-27T06:46:51Z
score 15,301603

Similar Items