Equacions diferencials estocàstiques dirigides per un moviment Brownià fraccionari
[cat] En aquesta memòria presentem tres treballs dedicats a l'estudi d'equacions diferencials estocàstiques dirigides per un moviment Bromnià fraccionari. La primera equació diferencial estocàstica que estudiarem és una equació amb retard i amb restriccions de positivitat. Com que el retar...
| Autor: | |
|---|---|
| Formato: | tesis doctoral |
| Estado: | Versión publicada |
| Fecha de publicación: | 2011 |
| País: | España |
| Recursos: | Universidad de Barcelona |
| Repositorio: | Dipòsit Digital de la UB |
| OAI Identifier: | oai:diposit.ub.edu:2445/42668 |
| Acesso em linha: | https://hdl.handle.net/2445/42668 http://www.tdx.cat/TDX-0315111-125342 http://hdl.handle.net/10803/2612 |
| Access Level: | acceso abierto |
| Palavra-chave: | Moviment brownià Equacions diferencials estocàstiques Brownian movements Stochastic differential equations |
| Resumo: | [cat] En aquesta memòria presentem tres treballs dedicats a l'estudi d'equacions diferencials estocàstiques dirigides per un moviment Bromnià fraccionari. La primera equació diferencial estocàstica que estudiarem és una equació amb retard i amb restriccions de positivitat. Com que el retard (R) és en aquest cas un valor positiu, hem de donar com a condició inicial la solució de l'equació a l'interval [-r; 0], que serà X(t) = ni(t), on la funció "mi" serà una funció determinista no negativa. El terme Y … [+]és el que ens permetrà assegurar que la solució de l'equació sigui sempre positiva. La metodologia utilitzada per provar els resultats per a aquesta equaciói per a la següent que presentarem és similar, encara que amb dificultats tècniques diferents. Considerem equacions deterministes i demostrem els resultats per aquest tipus d'equacions. Llavors com que entenem la integral estocàstica que apareix com una integral de Riemann-Stieltjes és fàcil aplicar els resultats obtinguts a les nostres equacions diferencials estocà tiques. Es tracta de la metodologia utilitzada per Nualart i Răşcanu a [3]. La segona equació que treballarem és una equació diferencial estocàstica de Volterra a R(d). Per aquesta equació demostrarem l'existència i la unicitat de solució, i provarem que la solució té moments finits. Observem que els nostres resultats inclouen com a cas particular els resultats obtinguts per Nualart i Răşcanu a [3]. L'interès d'aquesta part recau en l'obtenció d'estimacions per a les integrals de Lebesgue i Riemann-Stieltjes. Amb aquestes estimacions, obtenim les mateixes cotes que les de [3], i la demostració de l'existència i unicitat s'aconsegueix seguint els mateixos passos que fan Nualart i Rascanu per la seva equació. Finalment, l'últim treball fa referència a l'estudi d'aquesta equació diferencial d-dimensional dx(t )= f(x(t))dy(t) on la funció de control y no és diferenciable però és B-Holder contínua. Una manera d'estudiar aquestes equacions si la funci_o de control és B-Holder contínua d'ordre B>1/2 , és la desenvolupada per Nualart i Răşcanu a [3]. Aquest mètode ha sigut estès en un treball recent de Hu i Nualart [2] pel cas que B pertanguès a (1/3, ½). El propòsit del nostre treball és obtenir estimacions precises per a la norma del suprem per a la soluci_o de l'equació utilitzant la metodologia introduïda a [2]. Com a aplicació d'aquests resultats, deduïrem l'existència de moments per a les solucions d'equacions diferencials estocàstiques dirigides per un moviment Brownià fraccionari amb paràmetre de Hurst H pertany a (1/3, ½). Obtindrem, finalment, una estimació per la norma del suprem de la derivada de Malliavin de la solució de l'equació anterior. Aquests resultats generalitzen el treball de Hu i Nualart [1] pel cas H > 1/2. REFERÈNCIES: [1] Hu, Y.; Nualart, D. "Differential equations driven by Hölder continuous functions of order greater than ½. Stochastic analysis and applications", 399-413, Abel Symp., 2, Springer, Berlin, 2007. [2] Hu, Y.; Nualart, D. "Rough path analysis via fractional calculus". Transactions of the American Mathematical Society 361, (2009), 2689-2718. [3] Nualart, D.; Răşcanu, A. "Differential equations driven by fractional Brownian motion". Collect. Math. 53 (2002) 55-81. |
|---|