Contribució a l'estudi geomètric de subespais invariants respecte a transformacions i sistemes lineals
Mitjançant tècniques geomètriques, abordem les qüestions següents:<br/><br/>(i) Estudi (caracterització, classificació, famílies diferenciables,...) d'una classe destacada de subespais invariants, els anomenats "marcats".<br/>(ii) Existència i construcció de solucion...
| Autor: | |
|---|---|
| Tipo de documento: | tese |
| Data de publicação: | 2001 |
| País: | España |
| Recursos: | Universitat Politècnica de Catalunya (UPC) |
| Repositório: | UPCommons. Portal del coneixement obert de la UPC |
| Idioma: | catalão |
| OAI Identifier: | oai:upcommons.upc.edu:2117/93143 |
| Acesso em linha: | https://hdl.handle.net/2117/93143 https://dx.doi.org/10.5821/dissertation-2117-93143 |
| Access Level: | Acceso aberto |
| Palavra-chave: | subespais invariants problema de Carlson pertorbacions de matrius sistemes lineals 1201. Algebra - 1204. Geometria Sistemes lineals Matrius (Matemàtica) Àrees temàtiques de la UPC::Matemàtiques i estadística |
| Resumo: | Mitjançant tècniques geomètriques, abordem les qüestions següents:<br/><br/>(i) Estudi (caracterització, classificació, famílies diferenciables,...) d'una classe destacada de subespais invariants, els anomenats "marcats".<br/>(ii) Existència i construcció de solucions de l'anomenat problema de Carlson.<br/>(iii) Pertorbacions de matrius conservant un subespai invariant.<br/><br/><br/>I. Gohberg, P. Lancaster i L. Rodman defineixen una classe de subespais invariants, els marcats, com els que admeten una base de Jordan relativa a la restricció que sigui extensible a una base de Jordan de l'espai.<br/><br/>J. Ferrer-F. Puerta-X. Puerta caracteritzen els subespais marcats en termes geomètrics i els classifiquen. Aquí, els caracteritzem de dues formes diferents: la primera utilitza la filtració doble de Jordan formada per les interseccions dels nuclis i les imatges de les potències de l'endomorfisme, i en particular retroba el resultat abans referit; la segona és en termes de la filtració triple, que resulta d'intersecar l'anterior amb les imatges de les potencies de la restricció, que permet generalitzar el teorema de classificació anterior.<br/><br/>En relació amb la segona qüestió, recordem que el problema de Carlson consisteix en preguntar-se per l'existència d'una matriu amb una forma de Jordan determinada si són fixades les formes de Jordan d'un subespai invariant i del quocient. <br/><br/>Mitjançant T. Klein es redueix el problema de Carlson a l'existència de les successions de Littlewood-Richardson. Recentment, com es pot veure en un article resum de W. Fulton, s'han trobat condicions a l'efecte.<br/> <br/>No obstant, no hi ha algorismes per construir solucions explícites. Aquí presentem una demostració geomètrica constructiva del resultat anterior que permet un algorisme per a l'obtenció de solucions.<br/><br/>Com una aplicació important, obtenim que, fixades les característiques de Segre del subespai i del quocient, totes les característiques de Segre compatibles tenen alguna realització en qualsevol entorn de les que corresponen a un subespai marcat. Resulta, doncs, que totes les solucions al problema de Carlson apareixen pertorbant les solucions marcades elementals.<br/><br/>Això motiva que en la tercera part d'aquest treball estudiem les deformacions d'una matriu que deixa invariant un subespai. Apliquem les tècniques usades per V.I. Arnold per a matrius quadrades per estudiar les matrius del mateix tipus que li són properes. N'obtenim l'expressió implícita d'una deformació miniversal i l'apliquem per obtenir explícitament una deformació miniversal d'una matriu marcada.<br/><br/>Els dos primers problemes els tractem també per al cas de sistemes lineals, representats per parelles horitzontals de matrius (A,B). Per dualitat, és equivalent considerar parelles verticals, habitualment escrites (C,A), les quals es poden tractar com a aplicacions lineals definides en un subespai.<br/><br/>I. Gohberg, P. Lancaster i L. Rodman estenen la definició de subespai invariant per una parella de matrius. Els subespais (C,A)-invariants també reben el nom de subespais invariants condicionats.<br/><br/>Un subespai invariant condicionat es diu marcat si existeix una base de Brunovsky relativa a la restricció extensible a una base de Brunovsky del total. Obtenim una caracterització geomètrica dels subespais (C,A)-marcats, una família completa d'invariants que els classifiquen i condicions suficients per a la existència d'una base global de Brunovsky per a una família diferenciable de subespais (C,A)-marcats.<br/><br/>El problema de Carlson també es generalitza de forma natural a parelles de matrius. Aquí, demostrem un teorema, anàleg al fet en el cas quadrat, quan la parella és observable i el quocient és un endomorfisme amb un sol valor propi. Aquest últim problema també ha estat resolt per I. Baragaña i I. Zaballa usant mètodes matricials. És remarcable que una relació directa entre les particions que caracteritzen els blocs de les matrius, que en el cas quadrat és solament necessària, és suficient per a garantir l'existència de solucions en aquest cas. Igualment generalitzem l'algorisme per a l'obtenció explícita de solucions. |
|---|