Singular integral operators and rectifiability
Los problemas que estudiamos en esta tesis se encuentran en el área de Análisis Armónico y Teoría de la Medida Geométrica. En particular, consideramos la conexión entre las propiedades analíticas de operadores integrales singulares definidos en $L^2(\mu)$ y asociados con algunos núcleos de Calderón-...
| Autor: | |
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| Tipo de recurso: | tesis doctoral |
| Estado: | Versión publicada |
| Fecha de publicación: | 2018 |
| País: | España |
| Institución: | CBUC, CESCA |
| Repositorio: | TDR. Tesis Doctorales en Red |
| OAI Identifier: | oai:www.tdx.cat:10803/663827 |
| Acceso en línea: | http://hdl.handle.net/10803/663827 |
| Access Level: | acceso abierto |
| Palabra clave: | Operadors integrals singulars Operadores integrales singulares Singular integral operator Rectificabilitat Rectificabilidad Rectififiability transformada de Cauchy Cauchy transform Ciències Experimentals 51 |
| Sumario: | Los problemas que estudiamos en esta tesis se encuentran en el área de Análisis Armónico y Teoría de la Medida Geométrica. En particular, consideramos la conexión entre las propiedades analíticas de operadores integrales singulares definidos en $L^2(\mu)$ y asociados con algunos núcleos de Calderón-Zygmund y las propiedades geométricas de la medida $\mu$. Seamos más precisos. Sea $E$ un conjunto de Borel en el plano complejo con la medida lineal de Hausdorff $H^1$ finita y distinta de cero, es decir, $0<H^1(E)<\infty $. G. David y J.C. Léger (1999) probaron que el núcleo de Cauchy $1/z$ (e su parte real $(\Re z)/|z|^2$ también) tiene la siguiente propiedad: la $L^2(H^1_E)$-acotación de los operadores integrales singulares correspondientes implica que $E$ es rectificable. Más tarde, V. Chousionis, J. Mateu, L. Prat y X. Tolsa (2012) probaron la misma propiedad para el núcleo $(\ Re z)^3/|z|^4$. Además, hay ejemplos de los núcleos debidos a P. Huovinen (2001) y B. Jaye y F. Nazarov (2013) tales que los operadores integrales singulares correspondientes son $L^2(H^1_E)$-acotados por algunos conjuntos $E$ puramente no rectificables, es decir, la propiedad mencionada anteriormente no se cumple. En la tesis, presentamos nuestros resultados relacionados con el comportamiento de operadores integrales singulares asociados con la clase de núcleos de Calderón-Zygmund $ (\Re z)^3/|z|^4 + t \cdot (\Re z)/|z|^2$, donde $t$ es un parámetro real. Se muestra que esta clase de núcleos generaliza todos los mencionados anteriormente considerados por diferentes autores. Además, probamos que la propiedad “$L^2$-acotación implica rectificabilidad” se cumple para los operadores con $t\in(-\infty,-\sqrt{2})\cup(-t_0,+\infty]$, donde $t_0>0$ es una pequeña constante absoluta. Es importante que, para algunos de los $t$ que acabamos de mencionar, el llamado método de curvatura comúnmente utilizado para relacionar $L^2$-acotación y rectificabilidad no está disponible, pero todavía es posible establecer la propiedad mencionada. Hasta donde sabemos, es el primer ejemplo de este tipo en el plano complejo. También vale la pena mencionar que ampliamos nuestros resultados a una clase aún más general de núcleos y, además, consideramos problemas análogos para conjuntos $E$ Ahlfors-David-regulares. |
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