La Conjetura de Casas-Alvero para un número fijo de raíces
RESUMEN: Se hace en este trabajo un estudio de la Conjetura Casas-Alvero organizando su análisis con el tratamiento de los polinomios con un número fijo de raíces distintas. Se introducen tanto casos generales en donde esta conjetura se cumple como se descartan casos particulares en grado 20, primer...
| Autor: | |
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| Formato: | tesis de maestría |
| Fecha de publicación: | 2018 |
| País: | España |
| Recursos: | Universidad de Cantabria (UC) |
| Repositorio: | UCrea Repositorio Abierto de la Universidad de Cantabria |
| Idioma: | español |
| OAI Identifier: | oai:repositorio.unican.es:10902/15246 |
| Acesso em linha: | http://hdl.handle.net/10902/15246 |
| Access Level: | acceso abierto |
| Palavra-chave: | Conjetura de Casas-Alvero Polinomios Raíces Bases de Gröbner Resultantes Polinomios Tropicales Casas-Alvero Conjecture Polynomials Roots Gröbner Bases Resultants Tropical Polynomials |
| Resumo: | RESUMEN: Se hace en este trabajo un estudio de la Conjetura Casas-Alvero organizando su análisis con el tratamiento de los polinomios con un número fijo de raíces distintas. Se introducen tanto casos generales en donde esta conjetura se cumple como se descartan casos particulares en grado 20, primer caso donde no se conoce aún si la conjetura es cierta. En el primer capítulo de este trabajo damos algunos resultados generales encontrados en [4], [8], [6] y [3]. En particular, se corrige el enunciado (y la demostración) de uno de los teoremas en [6]. En el segundo capítulo se demuestra que para todos los polinomios con coeficientes en un cuerpo de característica 0 con dos y tres raíces distintas, la conjetura es cierta. Para los polinomios con cuatro y cinco raíces distintas se introduce una nueva estrategia que permite, para grado fijo, el comprobar si la conjetura es cierta. Asimismo, y motivado por lo anterior, se introducen nuevas restricciones a los posibles contraejemplos de la conjetura mostrando que estos no pueden existir, por ejemplo, si las últimas derivadas, hasta cierto orden, tienen una misma raíz en común. Finalmente se demuestra que la Conjetura de Casas-Alvero es cierta para todos los polinomios de grado 20 con cuatro, cinco y seis raíces distintas, usando la estrategia antes mencionada y calculando las bases de Gröbner de las últimas k derivadas, donde k es el número de raíces diferentes del polinomio considerado. En resumen, de los 627 casos posibles en grado 20, se ha demostrado que, en 302 de ellos, la Conjetura de Casas-Alvero es cierta. Viendo la imposibilidad de resolver este problema mediante este método, se utiliza la Geometría Tropical para estudiar un ejemplo concreto de polinomios en donde la conjetura es cierta para las definiciones clásicas, pero con las definiciones tropicales resulta falsa. En el anexo se muestran los conceptos y resultados que se han usado a lo largo de la memoria: Teoría de la Eliminación, Bases de Gröbner y las Identidades de Newton. |
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