Controlant la integral singular maximal
Els principals objectes d'estudi d'aquesta memòria són les integrals singulars. Per l'elaboració d'aquesta memòria, trobem una especial motivació en tres articles originats a partir de la idea d'acotar la norma de l'operador maximal d'una integral singular per la n...
| Autor: | |
|---|---|
| Tipo de recurso: | tesis doctoral |
| Estado: | Versión publicada |
| Fecha de publicación: | 2015 |
| País: | España |
| Institución: | CBUC, CESCA |
| Repositorio: | TDR. Tesis Doctorales en Red |
| OAI Identifier: | oai:www.tdx.cat:10803/314177 |
| Acceso en línea: | http://hdl.handle.net/10803/314177 |
| Access Level: | acceso abierto |
| Palabra clave: | Integrals singulars Singular integrals Integrales singulares Operador maximal Maximal operator Ciències Experimentals 517 |
| Sumario: | Els principals objectes d'estudi d'aquesta memòria són les integrals singulars. Per l'elaboració d'aquesta memòria, trobem una especial motivació en tres articles originats a partir de la idea d'acotar la norma de l'operador maximal d'una integral singular per la norma de la integral singular. En el primer article, de J. Mateu i J. Verdera del 2006, [MV], s'hi proven desigualtats puntuals pels casos particulars de la j-èssima transformada de Riesz i de la transformada de Beurling. Es fa notar per primer cop que les acotacions són diferents degut a la paritat del nucli de les respectives transformades. A posteriori, en els articles de J. Mateu, J. Orobitg i J. Verdera de 2011, [MOV], i en [MOPV] de 2010 dels mateixos autors més C. Pérez, s'han provat acotacions puntuals com les esmentades per transformades de Riesz d'ordre superior. En el primer treball es tracta el cas d'operadors amb el nucli parell i en el segon es fa el mateix pels de nucli senar. Aquí, la desigualtat de Cotlar pren protagonisme, ja que es fa notar que la desigualtat puntual pel cas parell és una millora d'aquesta. En [MOV] es demostra que, per les integrals singulars de Calderón-Zygmund de grau parell i amb nucli prou regular, l'acotació puntual de l'operador maximal pel mateix operador és equivalent a l'acotació en L^2 i al mateix temps a una condició algebraica sobre el nucli de la integral singular. En el cas de les integrals de grau senar, en [MOPV], es veu que succeeix el mateix però en la desigualtat puntual necessitem la segona iterada de l'operador maximal de Hardy-Littlewood. Ja s'havia vist en [MV] que l'acotació sense iteració no funcionava en el cas de la transformada de Riesz. A partir d'aquí, en el treball que ens ocupa, ens hem dedicat a estendre aquestes acotacions. En el primer capítol es resol una pregunta oberta que es planteja a [MOV]. Es demostra que l'acotació en L^p (i en L^p amb pesos) és també equivalent a la desigualtat puntual, no només amb p=2. Aquests resultats estan reflectits en [BMO1]. En el segon capítol es treballa una altra pregunta plantejada al mateix article. Es tracta de veure si es pot relaxar la regularitat del nucli i que segueixi passant el mateix. Quan ens trobem al pla, donem una bona resposta fixant una diferenciabilitat inicial que ha de tenir el nucli. En el cas de que la dimensió és més gran que 2, tenim una resposta parcial, en el sentit de que aquesta regularitat inicial depèn del grau d'un cert polinomi que depèn del nucli. Això podria fer que s'hagués de demanar una diferenciabilitat molt gran. Però, això sí, finita. En el tercer capítol donem un exemple pel qual no tenim acotació de la norma L^1 feble de la funció maximal en termes de la norma L^1 de l'operador. Presentem el cas d'un polinomi harmònic de grau 3 en el pla i expliquem com es pot generalitzar al cas d'operadors de qualsevol grau senar en el pla. Tot i això, degut a la difícil caracterització dels polinomis harmònics en dimensions superiors, ens ha quedat obert el problema a R^n, per n>2. En l'últim capítol considerem el mateix problema d'acotar puntualment l'operador maximal d'una integral singular pel mateix operador, però en aquest cas definim una nova maximal on trunquem amb cubs en lloc de boles. Treballem el cas de la transformada de Beurling i veiem que per poder acotar ho hem de fer utilitzant la segona iterada del maximal de Hardy-Littlewood, i que no ho podem reemplaçar per la primera iteració. Aquests resultats estan reflectits en [BMO2]. Bibliografia [BMO1] A. Bosch-Camós, J. Mateu, J. Orobitg, «L^p estimates for the maximal singular integral in terms of the singular integral», J. Analyse Math. 126 (2015), 287-306. [BMO2] A. Bosch-Camós, J. Mateu, J. Orobitg, «The maximal Beurling transform associated with squares», Ann. Acad. Sci. Fenn. 40 (2015), 215-226. [MOPV] J. Mateu, J. Orobitg, C. Perez, J. Verdera, «New estimates for the maximal singular integral», Int. Math. Res. Not. 19 (2010), 3658-3722. [MOV] J. Mateu, J. Orobitg, J. Verdera, «Estimates for the maximal singular integral in terms of the singular integral: the case of even kernels», Ann. of Math. 174 (2011), 1429-1483. [MV] J. Mateu, J. Verdera, «L^p and weak L^1 estimates for the maximal Riesz transform and the maximal Beurling transform, Math. Res. Lett. 13 (2006), 957-966. |
|---|