representations of the p-adic three-dimensional rotation group
Aquesta tesi investiga la geometria, l'estructura i la teoria de la representació dels grups ortogonals especials p-àdics compactes, amb especial atenció al grau tres, SO(3)_p. A més de la seva importància matemàtica, es preveu que SO(3)_p i les seves representacions unitàries tinguin un paper...
| Autor: | |
|---|---|
| Formato: | tesis doctoral |
| Fecha de publicación: | 2025 |
| País: | España |
| Recursos: | Universitat Autònoma de Barcelona |
| Repositorio: | Dipòsit Digital de Documents de la UAB |
| Idioma: | inglés |
| OAI Identifier: | oai:ddd.uab.cat:309963 |
| Acesso em linha: | https://ddd.uab.cat/record/309963 |
| Access Level: | acceso abierto |
| Palavra-chave: | Mecànica quàntica p-àdica P-adic rotation group Computación cuántica p-àdica Nombres p-àdics Quaternion algebra Teoría de la representación Portes lògiques quàntiques Haar measure Límite inverso/proyectivo Ciències Experimentals 530.1 |
| Resumo: | Aquesta tesi investiga la geometria, l'estructura i la teoria de la representació dels grups ortogonals especials p-àdics compactes, amb especial atenció al grau tres, SO(3)_p. A més de la seva importància matemàtica, es preveu que SO(3)_p i les seves representacions unitàries tinguin un paper central en el desenvolupament del moment angular i l'espín en la mecànica quàntica p-àdica. En particular, aquestes representacions de la dimensió dos proporcionen un model adequat de qubit p-àdic, en els fonaments d'una creixent teoria p-àdica de la informació i la computació quàntica. Per tant, proposem construir un processament d'informació quàntica utilitzant elements de les mateixes representacions de SO(3)_p que les portes de lògica quàntica. L'estudi comença amb la classificació de les formes quadràtiques p-àdiques, segons la qual només existeixen grups ortogonals especials p-àdics compactes de grau dos, tres i quatre. Això produeix un grup únic SO(3)p de rotacions en Q_p^3, un grup únic de grau quatre, però diverses encarnacions del grup de rotacions al pla p-àdic. SO(3)_p mostra similituds amb el seu homòleg real, alhora que revela diferències a causa de les propietats teòriques dels nombres de Q_p, depenent del primer p. El primer parell p=2 presenta algunes peculiaritats, per tant, ocasionalment requereix un tractament separat i prudent. Tot el grup SO(3)_p admet una representació en termes dels "angles" de Cardano (també conegut com nàutic), però això només funciona per a determinades ordenacions del producte de rotacions al voltant dels eixos de referència, depenent del primer; a més, no hi ha una descomposició general d'Euler. Per a p=2, no existeix cap descomposició d'Euler o Cardano. Expressem la mesura de Haar en SO(3)_p, així com en els altres grups ortogonals especials p-àdics compactes, utilitzant dos enfocaments: (1) una maquinària de límit invers de mesures de recompte, ja que aquests grups són profinis, i ( 2) una fórmula integral general per a la mesura de Haar sobre grups de Lie p-àdics, per ser explotada juntament amb les realitzacions de quaternions de rotacions p-àdiques. Això obre el camí per a l'anàlisi harmònic d'aquests grups, i específicament per a les seves representacions invocant el teorema de Peter-Weyl. Com que totes les representacions unitàries projectives de dimensions finites de SO(3)_p es factoritzen en algun quocient mòdul p^k, k \in N, ens embarquem en el camí d'estudiar les representacions de SO(3)_p partint de les induïdes per SO. (3)_p mod pàg. En particular, trobem explícitament qubits p-àdics per a cada p primer. Abordem més el problema de Clebsch-Gordan i identifiquem estats entrellaçats per a sistemes compostos de dos qubits p-àdics. Finalment comencem a treballar en portes lògiques que operen en dos qubits, a partir de les conegudes representacions unitàries de quatre dimensions de SO(3)_p, amb l'objectiu final de proporcionar un conjunt universal de portes. |
|---|