Singular integrals, rectifiability and elliptic measure

La tesi investiga la relació entre les propietats geomètriques de les mesures en espais euclidians i el comportament de certs operadors integrals singulars corresponents. També proposem alguna aplicació a l’estudi d’EDPs el·líptiques. En primer lloc, es caracteritza la regularitat de les corbes plan...

Descripción completa

Detalles Bibliográficos
Autor: Puliatti, Carmelo
Tipo de recurso: tesis doctoral
Estado:Versión publicada
Fecha de publicación:2019
País:España
Institución:CBUC, CESCA
Repositorio:TDR. Tesis Doctorales en Red
OAI Identifier:oai:www.tdx.cat:10803/670127
Acceso en línea:http://hdl.handle.net/10803/670127
Access Level:acceso abierto
Palabra clave:Integrals singulars
Integrales singulares
Singular integrals
Rectificabilitat
Rectificabilidad
Rectifiability
Mesura el·líptica
Medida elíptica
Elliptic measure
Ciències Experimentals
517
id ES_02f2c8c5a00fcb2c2e8e9a54253b9005
oai_identifier_str oai:www.tdx.cat:10803/670127
network_acronym_str ES
network_name_str España
repository_id_str
dc.title.none.fl_str_mv Singular integrals, rectifiability and elliptic measure
title Singular integrals, rectifiability and elliptic measure
spellingShingle Singular integrals, rectifiability and elliptic measure
Puliatti, Carmelo
Integrals singulars
Integrales singulares
Singular integrals
Rectificabilitat
Rectificabilidad
Rectifiability
Mesura el·líptica
Medida elíptica
Elliptic measure
Ciències Experimentals
517
title_short Singular integrals, rectifiability and elliptic measure
title_full Singular integrals, rectifiability and elliptic measure
title_fullStr Singular integrals, rectifiability and elliptic measure
title_full_unstemmed Singular integrals, rectifiability and elliptic measure
title_sort Singular integrals, rectifiability and elliptic measure
dc.creator.none.fl_str_mv Puliatti, Carmelo
author Puliatti, Carmelo
author_facet Puliatti, Carmelo
author_role author
dc.contributor.none.fl_str_mv Tolsa Domènech, Xavier
Verdera, Joan
Universitat Autònoma de Barcelona. Departament de Matemàtiques
dc.subject.none.fl_str_mv Integrals singulars
Integrales singulares
Singular integrals
Rectificabilitat
Rectificabilidad
Rectifiability
Mesura el·líptica
Medida elíptica
Elliptic measure
Ciències Experimentals
517
topic Integrals singulars
Integrales singulares
Singular integrals
Rectificabilitat
Rectificabilidad
Rectifiability
Mesura el·líptica
Medida elíptica
Elliptic measure
Ciències Experimentals
517
description La tesi investiga la relació entre les propietats geomètriques de les mesures en espais euclidians i el comportament de certs operadors integrals singulars corresponents. També proposem alguna aplicació a l’estudi d’EDPs el·líptiques. En primer lloc, es caracteritza la regularitat de les corbes planes de Jordan corda-arc que tenen transformades maximals de Cauchy associades que es poden afitar puntualment per la iteració de segon ordre de la funció maximal de Hardy-Littlewood a la corba, assumint una condició natural de fons de conformitat asimptòtica. En particular, resulta que aquestes corbes no necessàriament tenen tangents a cada punt, però es poden diferenciar gairebé pertot amb derivades en VMO. En el segon capítol estudiem les propietats d’una mesura que determinen si la seva transformada de Cauchy defineix un operador compacte a L ^ 2; determinem que la compacitat es pot caracteritzar per una convergència uniforme a zero de la densitat superior de la mesura. A continuació, investigem un equivalent en el context d’equacions el·líptiques de dos resultats importants i recents importants sobre la transformada de Riesz i la rectificabilitat uniforme. Sota un hipòtesi de continuïtat de Hölder per a la matriu que defineix l’operador uniforme el·líptic en forma de divergència demostrem, en col·laboració amb Laura Prat i Xavier Tolsa, que el gradient del potencial d’una sola capa associat amb una mesura n-Alhfors-David-regular amb suport compacte en R ^ (n + 1) és afitat a L ^ 2 si i només si la mesura és uniformement n-rectificable. Aquest resultat amplia l’important article de F. Nazarov, X. Tolsa i A. Volberg sobre la solució de l’anomenada problemàtica de David i Semmes en co-dimensió 1. Després, l’apliquem a un problema d’una-fase per a la mesura el·líptica. Sota la mateixa hipòtesi per a l’equació el·líptica establim un criteri local de rectificabilitat per a mesures de Radon que no són necessàriament regulars. El teorema es formula en termes d’un control de l’oscil·lació mitjana del gradient del potencial d’una sola capa. Això generalitza un resultat recent de D. Girela-Sarriòn i X. Tolsa. Aquest estudi constitueix un pas important per aconseguir un resultat de rectificabilitat per a un problema de dues-fases per a la mesura el·líptica.
publishDate 2019
dc.date.none.fl_str_mv 2019
2020
2020
dc.type.none.fl_str_mv info:eu-repo/semantics/doctoralThesis
info:eu-repo/semantics/publishedVersion
format doctoralThesis
status_str publishedVersion
dc.identifier.none.fl_str_mv http://hdl.handle.net/10803/670127
url http://hdl.handle.net/10803/670127
dc.language.none.fl_str_mv Inglés
language_invalid_str_mv Inglés
dc.rights.none.fl_str_mv http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/
info:eu-repo/semantics/openAccess
rights_invalid_str_mv http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/
eu_rights_str_mv openAccess
dc.format.none.fl_str_mv 190 p.
application/pdf
application/pdf
dc.publisher.none.fl_str_mv Universitat Autònoma de Barcelona
publisher.none.fl_str_mv Universitat Autònoma de Barcelona
dc.source.none.fl_str_mv TDX (Tesis Doctorals en Xarxa)
reponame:TDR. Tesis Doctorales en Red
instname:CBUC, CESCA
instname_str CBUC, CESCA
reponame_str TDR. Tesis Doctorales en Red
collection TDR. Tesis Doctorales en Red
repository.name.fl_str_mv
repository.mail.fl_str_mv
_version_ 1869402692225335296
spelling Singular integrals, rectifiability and elliptic measurePuliatti, CarmeloIntegrals singularsIntegrales singularesSingular integralsRectificabilitatRectificabilidadRectifiabilityMesura el·lípticaMedida elípticaElliptic measureCiències Experimentals517La tesi investiga la relació entre les propietats geomètriques de les mesures en espais euclidians i el comportament de certs operadors integrals singulars corresponents. També proposem alguna aplicació a l’estudi d’EDPs el·líptiques. En primer lloc, es caracteritza la regularitat de les corbes planes de Jordan corda-arc que tenen transformades maximals de Cauchy associades que es poden afitar puntualment per la iteració de segon ordre de la funció maximal de Hardy-Littlewood a la corba, assumint una condició natural de fons de conformitat asimptòtica. En particular, resulta que aquestes corbes no necessàriament tenen tangents a cada punt, però es poden diferenciar gairebé pertot amb derivades en VMO. En el segon capítol estudiem les propietats d’una mesura que determinen si la seva transformada de Cauchy defineix un operador compacte a L ^ 2; determinem que la compacitat es pot caracteritzar per una convergència uniforme a zero de la densitat superior de la mesura. A continuació, investigem un equivalent en el context d’equacions el·líptiques de dos resultats importants i recents importants sobre la transformada de Riesz i la rectificabilitat uniforme. Sota un hipòtesi de continuïtat de Hölder per a la matriu que defineix l’operador uniforme el·líptic en forma de divergència demostrem, en col·laboració amb Laura Prat i Xavier Tolsa, que el gradient del potencial d’una sola capa associat amb una mesura n-Alhfors-David-regular amb suport compacte en R ^ (n + 1) és afitat a L ^ 2 si i només si la mesura és uniformement n-rectificable. Aquest resultat amplia l’important article de F. Nazarov, X. Tolsa i A. Volberg sobre la solució de l’anomenada problemàtica de David i Semmes en co-dimensió 1. Després, l’apliquem a un problema d’una-fase per a la mesura el·líptica. Sota la mateixa hipòtesi per a l’equació el·líptica establim un criteri local de rectificabilitat per a mesures de Radon que no són necessàriament regulars. El teorema es formula en termes d’un control de l’oscil·lació mitjana del gradient del potencial d’una sola capa. Això generalitza un resultat recent de D. Girela-Sarriòn i X. Tolsa. Aquest estudi constitueix un pas important per aconseguir un resultat de rectificabilitat per a un problema de dues-fases per a la mesura el·líptica.La tesis investiga la relación entre las propiedades geométricas de las medidas en espacios euclídeos y el comportamiento de ciertos operadores integrales singulares asociados. También mostramos alguna aplicación al estudio de EDPs elípticas. Primero, caracterizamos la regularidad de las curvas planas de Jordan cuerda-arco cuya transformada maximal de Cauchy puede ser dominada puntualmente por la iteración de segundo orden de la función maximal de Hardy-Littlewood en la curva, suponiendo una condición natural de conformidad asintótica de fondo. En particular, resulta que estas curvas no necesariamente tienen tangentes en cada punto, pero son diferenciables en casi todas partes con derivadas en VMO. Las condiciones que determinan si la transformada de Cauchy asociada a una medida define un operador compacto en L ^ 2 se estudian en el segundo capítulo; determinamos que la compacidad puede caracterizarse por una convergencia uniforme a cero de la densidad superior de la medida. Luego, investigamos un equivalente en el contexto de ecuaciones elípticas de dos importantes resultados recientes sobre la transformada de Riesz y la rectificabilidad uniforme. Bajo una suposición de continuidad de Hölder para la matriz que define el operador uniformemente elíptico en forma de divergencia demostramos, en colaboración con Laura Prat y Xavier Tolsa, que el gradiente del potencial de capa única asociado a una medida n-Alhfors-David regular con soporte compacto en R ^ (n + 1) está acotado en L ^ 2 si y sólo si la medida es uniformemente n-rectificable. Este resultado amplía el importante artículo de F. Nazarov, X. Tolsa y A. Volberg sobre la solución del problema de David y Semmes en co-dimensión 1, y lo aplicamos a un problema de una fase para la medida elíptica. Bajo la misma hipótesis para la ecuación elíptica, establecemos un criterio local de rectificabilidad para las medidas de Radon que no son necesariamente regulares. El teorema se formula en términos de un control de la oscilación media del gradiente del potencial de una sola capa. Esto generaliza un resultado reciente de D. Girela-Sarriòn y X. Tolsa. Este estudio constituye un paso importante para lograr un resultado de rectificabilidad para un problema de dos-fases para la medida elíptica.The thesis investigates the relation between the geometric properties of measures in Euclidean spaces and the behavior of certain associated singular integral operators. We also show some application to the study of elliptic PDEs. First, we characterize the regularity of the planar chord-arc Jordan curves whose associated maximal Cauchy transform can be pointwise dominated by the second-order iteration of the Hardy-Littlewood maximal function on the curve, assuming a natural background asymptotic conformality condition. In particular, it turns out that this curves do not necessarily have tangents at each point but they are differentiable almost everywhere with derivatives in VMO. The conditions on a measure that determine whether its associated Cauchy transform defines a compact operator on L^2 are studied in the second chapter; we determine that the compactness can be characterized by a uniform convergence to zero of the upper density of the measure. Then, we investigate an equivalent in the context of elliptic equations of two important recent results on Riesz transform and uniform rectifiabilty. Under a Hölder continuity assumption for the matrix defining the uniformly elliptic operator in divergence form we prove, in collaboration with Laura Prat and Xavier Tolsa, that the gradient of the single layer potential associated with a compactly supported n-Alhfors-David regular mesaure in R^(n+1) is bounded on L^2 if and only if the measure is uniformly n-rectifiable. This result extends the important article by F. Nazarov, X. Tolsa and A. Volberg on the solution of the so-called co-dimension 1 David and Semmes’ problem and we apply it to a one-phase problem for the elliptic measure. Under the same hypothesis for the elliptic equation we establish a local rectifiability criterion for Radon measures which are not necessarily regular. The theorem is formulated in terms of a control of the mean oscillation of the gradient of the single layer potential. This generalizes a recent result by D. Girela-Sarriòn and X. Tolsa. This study constitutes an important step to achieve a rectifiability result for a two-phase problem for the elliptic measure.Universitat Autònoma de BarcelonaTolsa Domènech, XavierVerdera, JoanUniversitat Autònoma de Barcelona. Departament de Matemàtiques202020202019info:eu-repo/semantics/doctoralThesisinfo:eu-repo/semantics/publishedVersion190 p.application/pdfapplication/pdfhttp://hdl.handle.net/10803/670127TDX (Tesis Doctorals en Xarxa)reponame:TDR. Tesis Doctorales en Redinstname:CBUC, CESCAInglésL'accés als continguts d'aquesta tesi queda condicionat a l'acceptació de les condicions d'ús establertes per la següent llicència Creative Commons: http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/info:eu-repo/semantics/openAccessoai:www.tdx.cat:10803/6701272026-06-14T12:46:07Z
score 15,301603

Similares en LA Referencia