Conteo de enteros representables como sumas de potencias k−ésimas módulo n
Dado un polinomio $f(x_1, \ldots, x_t)$ con coeficientes enteros y $n\in\mathbb Z^+$, denotamos por $A_n$, el conjunto de elementos $a\in\{0,1,\ldots,n-1\}$ tales que la congruencia polinomial $f(x_1, x_2, \ldots, x_t)\equiv a\ (\mathrm{mod}\ n)$ tiene solución, y el tamaño de $A_n$ será denotado po...
| Autor: | |
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| Tipo de recurso: | tesis de maestría |
| Estado: | Versión enviada para evaluación y publicación |
| Fecha de publicación: | 2022 |
| País: | Colombia |
| Institución: | Universidad de Córdoba |
| Repositorio: | Repositorio Institucional Unicórdoba |
| Idioma: | español |
| OAI Identifier: | oai:repositorio.unicordoba.edu.co:ucordoba/6552 |
| Acceso en línea: | https://repositorio.unicordoba.edu.co/handle/ucordoba/6552 |
| Access Level: | acceso embargado |
| Palabra clave: | Conteo Enteros Representables Imágenes de polinomios Counting Integers Images of polynomials |
| Sumario: | Dado un polinomio $f(x_1, \ldots, x_t)$ con coeficientes enteros y $n\in\mathbb Z^+$, denotamos por $A_n$, el conjunto de elementos $a\in\{0,1,\ldots,n-1\}$ tales que la congruencia polinomial $f(x_1, x_2, \ldots, x_t)\equiv a\ (\mathrm{mod}\ n)$ tiene solución, y el tamaño de $A_n$ será denotado por $\alpha(n)$. Sabemos que $\alpha$ define una función multiplicativa. Así, nuestro interés se centra en determinar $A_{p^n}$ y $\alpha(p^n)$ para toda potencia de primo $p^n$. Para una potencia de primo $p^n$, sabemos que $A_{p^{n+1}}$ es un subconjunto de $\{a+jp^{n}:a\in A_{p^{n-1}}, 0\leq j<p\}$, por lo que pueden definirse los $N-$conjuntos, $N_{p^n}:=\{a+jp^{n}:a\in A_{p^{n-1}}, 0\leq j<p\}\setminus A_{p^n},$ del primo $p$. El objetivo principal de nuestro trabajo, es calcular fórmulas explícitas para $\alpha(p^n)$ asociada a polinomios de la forma $f(x,y)=x^k\pm y^k$. Sin embargo, incluimos una variedad de resultados asociados a polinomios más generales del tipo $f(x_1,\ldots,x_n)=c_1x_1^k+\cdots+c_nx^k_n.$ Además, estudiamos la versión modular del problema de Waring y proponemos una generalización. |
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