Two problems about convex polygons in discrete geometry
En este trabajo abordamos dos problemas sobre polígonos convexos, con vértices en un conjunto finito de puntos en el plano, en posición general. En el primer problema, obtenemos el dibujo rectilíneo de la gráfica completa, con vértices en la colección de puntos dada, y colorearemos las aristas de ac...
| Autores: | , |
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| Tipo de recurso: | tesis doctoral |
| Estado: | Versión publicada |
| Fecha de publicación: | 2021 |
| País: | México |
| Institución: | Universidad Autónoma de San Luis Potosí |
| Repositorio: | Repositorio Institucional de la UASLP |
| OAI Identifier: | oai:repositorioinstitucional.uaslp.mx:i/8019 |
| Acceso en línea: | https://repositorioinstitucional.uaslp.mx/xmlui/handle/i/8019 |
| Access Level: | acceso abierto |
| Palabra clave: | CIENCIAS FÍSICO MATEMATICAS Y CIENCIAS DE LA TIERRA INGENIERÍA Y TECNOLOGÍA |
| Sumario: | En este trabajo abordamos dos problemas sobre polígonos convexos, con vértices en un conjunto finito de puntos en el plano, en posición general. En el primer problema, obtenemos el dibujo rectilíneo de la gráfica completa, con vértices en la colección de puntos dada, y colorearemos las aristas de acuerdo a la siguiente regla: para cualesquiera dos aristas, si sus cerraduras son disjuntas, entonces deben tener diferente color. Estudiaremos el número de colores necesarios y suficientes que debe tener cualquier coloración de este tipo. En este trabajo, encontramos el número de colores necesarios y suficientes para colorear las aristas de la gráfica completa, cuando los vértices están en la doble cadena. Cabe mencionar que, este problema estaba resuelto únicamente para cuando la colección de puntos es el conjunto de vértices de un polígono convexo. Probaremos que si coloreamos, de manera óptima, las aristas con extremos en la cadena mayor, y posteriormente, seleccionando cada vértice restante, y coloreando del mismo color sus aristas incidentes, entonces el número de colores empleados es el óptimo. De nuestro resultado, conjeturamos que, para obtener una coloración óptima en cualquier colección de puntos, se procede de manera semejante: colorear, de manera óptima, las aristas con extremos en el polígono convexo más grande, y posteriormente, seleccionando cada vértice para colorear de un solo color todas las aristas incidentes a él. Formalmente, estamos coloreando, de manera óptima, la gráfica de disjuntez GD = (VD, ED), inducida de un conjunto P de puntos en el plano en posición general. Obtenemos a GD de la siguiente manera: tomamos el dibujo rectilíneo D de K|P| = (P, E) y hacemos VD = E, y ED = {ee′ : las cerraduras de e y de e ′ no se intersectan en D}. Que, como mencionamos, tal número cromático sólo es conocido para cuando P es el conjunto de vértices de un polígono convexo. Probamos que la gráfica de disjuntez, en la doble cadena, tiene un número cromático sustancialmente más grande que el que se conoce. En el segundo problema que estudiamos, nos interesa que los polígonos sean vacíos, y no necesariamente buscamos el más grande. Buscamos particionar el cierre convexo del conjunto de puntos dado P con polígonos con vexos, con interiores disjuntos, cuyos vértices estén en P. A este conjunto de polígonos se le llama descomposición convexa. Estamos interesados en descomposiciones convexas de cardinalidad mínima. Por poner un ejemplo, tenemos a las triangulaciones: descomposiciones convexas cuyos elementos, desde luego, son triángulos. El número de elementos en una triangulación es bien conocido. Si pudiéramos encontrar una descomposición convexa cuyos elementos fueran cuadriláteros, su cardinalidad sería la de una triangulación dividida por dos. Pero es fácil encontrar colecciones de puntos que no admiten cuadrilaterizaciones, en las que todos sus elementos sean convexos. Partiremos de una triangulación específica y encontraremos aristas que pueden ser eliminadas para obtener polígonos convexos más grandes, reduciendo la cardinalidad de la descomposición. |
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