Approximation in the Zygmund Class and Distortion under Inner Functions
En aquest treball es tracten dos problemes. El primer és un problema d'aproximació en la classe de Zygmund per funcions del subespai I_1(BMO), que és l'espai de funcions contínues amb derivada a BMO en el sentit de les distribucions. Considerem la distància definida per la semi-norma de Zy...
| Autor: | |
|---|---|
| Formato: | tesis doctoral |
| Fecha de publicación: | 2020 |
| País: | España |
| Recursos: | Universitat Autònoma de Barcelona |
| Repositorio: | Dipòsit Digital de Documents de la UAB |
| Idioma: | inglés |
| OAI Identifier: | oai:ddd.uab.cat:241093 |
| Acesso em linha: | https://ddd.uab.cat/record/241093 |
| Access Level: | acceso abierto |
| Palavra-chave: | Classe de Zygmund Clase de Zygmund Zygmund class Classes Hölder Clases Hölder Hölder classes Funcions internes Funciones internas Inner functions Ciències Experimentals |
| Resumo: | En aquest treball es tracten dos problemes. El primer és un problema d'aproximació en la classe de Zygmund per funcions del subespai I_1(BMO), que és l'espai de funcions contínues amb derivada a BMO en el sentit de les distribucions. Considerem la distància definida per la semi-norma de Zygmund. En el Capítol 1, donada una funció f de la classe de Zygmund en la recta real amb suport compacte, trobem una estimació de la seva distància al subespai I_1(BMO). A més, aquest resultat s'expressa en termes de les segones diferències de f, que defineixen la seva semi-norma de Zygmund. Com a corol·lari, obtenim una caracterització de la clausura de l'espai I_1(BMO) en aquesta semi-norma. Els mètodes presentats en aquesta primera part no es poden aplicar al cas de la classe de Zygmund a l'espai euclidià de dimensió n>1. Tanmateix, presentem un resultat anàleg per mesures de Zygmund en dimensió n>=1. En aquest cas, el subespai que considerem és el de mesures absolutament contínues amb derivada de Radon-Nykodim en l'espai BMO. En el Capítol 2, considerem l'espai de funcions amb continuïtat Hölder de paràmetre 0<s<=1 (prenent la classe de Zygmund en el cas s=1) definides en l'espai euclidià de dimensió n>=1. Per 0<s<=1, la imatge de BMO pel potencial de Riesz I_s en el sentit de les distribucions temperades mòdul polinomis, que denotem per I_s(BMO), és subespai de la classe de Hölder de paràmetre s. En particular, en el cas n=s=1 aquesta definició coincideix amb la de I_1(BMO) en el Capítol 1. Aleshores, donada una funció f de la classe de Hölder de paràmetre 0<s<=1 amb suport compacte, trobem una estimació de la seva distància al subespai I_s(BMO). La distància que prenem és la que defineix la semi-norma de Hölder corresponent. Com abans, aquest resultat també ve expressat en termes de les segones diferències de f. A més a més, mostrem dues estimacions equivalents. Una en termes dels coeficients de la sèrie d'ondetes de f i l'altra en termes de la segona derivada hiperbòlica de l'extensió harmònica de f al semi-espai superior. En el Capítol 3, estudiem un problema sobre funcions internes al disc unitat. El Lema de Löwner afirma que la mesura de Lebesgue en el cercle unitat és invariant per tota funció interna f que fixi l'origen. És a dir, qualsevol conjunt mesurable E en el cercle unitat i la seva preimatge per f tenen la mateixa mesura de Lebesgue. Pel cas en què una funció interna f no té cap punt fix en el disc unitat, C. I. Doering i R. Mañé van estudiar una mesura infinita en el cercle unitat que depèn del punt fix de Denjoy-Wolff de f i que és quasi-invariant. Aquí generalitzem el resultat de Doering i Mañé, definint la seva mesura prenent un punt qualsevol del cercle unitat. Per altra banda, J. L. Fernández i D. Pestana van estudiar la distorsió del contingut de Hausdorff de conjunts en el cercle unitat per funcions internes que fixen l'origen. Fent servir un contingut de Hausdorff basat en la mesura definida per Doering i Mañé, presentem una generalització del resultat de Fernández i Pestana per funcions internes sense cap punt fix en el disc unitat. |
|---|