Limit cycles of small amplitude in polynomial and piecewise polynomial planar vector fields
David Hilbert l'any 1900, al Congrés Internacional de Matemàtiques va proposar 23 problemes que, segons el seu parer, motivarien els avenços en matemàtiques durant el segle XX. Entre aquests problemes, n'hi ha un apareix en l'estudi de les equacions diferencials ordinàries. El 16è pro...
| Autor: | |
|---|---|
| Tipo de recurso: | tesis doctoral |
| Fecha de publicación: | 2020 |
| País: | España |
| Institución: | Universitat Autònoma de Barcelona |
| Repositorio: | Dipòsit Digital de Documents de la UAB |
| Idioma: | inglés |
| OAI Identifier: | oai:ddd.uab.cat:238515 |
| Acceso en línea: | https://ddd.uab.cat/record/238515 |
| Access Level: | acceso abierto |
| Palabra clave: | Equacions diferencials ordinàries Cicles límits |
| Sumario: | David Hilbert l'any 1900, al Congrés Internacional de Matemàtiques va proposar 23 problemes que, segons el seu parer, motivarien els avenços en matemàtiques durant el segle XX. Entre aquests problemes, n'hi ha un apareix en l'estudi de les equacions diferencials ordinàries. El 16è problema de Hilbert, la segona part del qual pregunta pel nombre màxim i la posició relativa de les òrbites periòdiques aïllades, també anomenats cicles límit, d'un sistema polinòmial al pla en funció del seu grau n. Fins a l'actualitat, el 16è problema de Hilbert segueix essent un problema obert. Amb els anys i sense una solució, van començar a aparèixer versions més dèbils al 16è problema de Hilbert. Aquí ens interesa una d'elles, que consisteix en proporcionar el màxim nombre M(n) de cicles límit d'amplitud petita que es bifurquen des d'un centre o focus dèbil elementals.Per ajudar a resoldre aquest problema, la nostra contribució en aquesta tesi és oferir un mecanisme que simplifiqui el càlcul dels desenvolupaments de Taylor de les constants de Lyapunov i presentar una teoria que ens ajudi a utilitzar les constants obtingudes per un sistema diferencial clàssic per estudiar cotes inferiors del valor de M(n). Dediquem part d'aquest treball a estudiar el mateix problema als sistemes definits a trossos. En aquest treball, considerem els camps vectorials fixos i presentem l'eina de paral·lelització que ens ajudarà a calcular els desenvolupaments de Taylor d'ordre alt de les constants de Lyapunov prop d'un centre no lineal i obtenir resultats sobre com obtenir cicles límit mitjançant aquests desenvolupaments. A més, considerem una família de camps vectorials i presentem un resultat que ens permet obtenir addicionalment k cicles límit si el sistema no perturbat té un centre amb k paràmetres lliures. Per als sistemes a trossos, es consideren de nou els camps vectorials fixos i mitjançant la paral·lelització, s'han pogut calcular les constants Lyapunov necessàries de tal forma que per a sistemes cúbics i quàrics es milloren les cotes inferiors pel nuúmero de cicles límit d'amplitud petita. Provem que M(3) i M(4) són més grans o iguals a 12 i 21, respectivament. A més a més, demostrem que si un sistema analític a trossos té un focus feble d'ordre 2n + 1, podem desplegar el nombre total de cicles límit pertorbant dins la classe de camps analítics definits a trossos. Aquest resultat és una extensió natural del resultat clàssic mostrat per Andronov per als sistemes analítics. A més, utilitzant l'equivalència entre les constants de Lyapunov i les funcions de Melnikov, millorem també la cota inferior de la ciclicitat local per a camps vectorials de grau sis.La tesi s'estructura en quatre capítols:Capítol 1. Cotes inferiors per a la ciclicitat local dels centres.Capítol 2. Cotes inferiors per a la ciclicitat local per a famílies de centres.Capítol 3. Ciclicitat local en camps vectorials polinòmials a trossos de grau petit.Capítol 4. Ciclicitat local mitjançant la primera funció de Melnikov. |
|---|