Sobre los coeficientes de Taylor de una función univalente: de Bieberbach a De Branges
El estudio de las funciones univalentes (holomorfas e inyectivas) en el disco unidad D, es un ´area de investigaci´on ya cl´asica en An´alisis Matem´atico que continua muy viva a d´ıa de hoy. El estudio de este tipo de funciones fue impulsado por la famosa conjetura de Bieberbach de 1916 (demostrada...
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| Tipo de recurso: | tesis de maestría |
| Estado: | Versión publicada |
| Fecha de publicación: | 2022 |
| País: | España |
| Institución: | Universidad de Sevilla (US) |
| Repositorio: | idUS. Depósito de Investigación de la Universidad de Sevilla |
| OAI Identifier: | oai:idus.us.es:11441/142618 |
| Acceso en línea: | https://hdl.handle.net/11441/142618 |
| Access Level: | acceso abierto |
| Palabra clave: | Funciones univalentes Conjetura de Bieberbach Teoría de Loewner Teorema de Askey-Gasper Univalent functions Bieberbach’s Conjecture Loewner’s Theory Askey-Gasper’s Theorem |
| Sumario: | El estudio de las funciones univalentes (holomorfas e inyectivas) en el disco unidad D, es un ´area de investigaci´on ya cl´asica en An´alisis Matem´atico que continua muy viva a d´ıa de hoy. El estudio de este tipo de funciones fue impulsado por la famosa conjetura de Bieberbach de 1916 (demostrada por De Branges en 1984) en la que se centra el presente trabajo. Recordemos que esta conjetura afirma que si f(z) = z+a2z 2+a3z 3+... es una funci´on anal´ıtica e inyectiva en el disco unidad, entonces |an| ≤ n para todo n´umero natural n, alcanz´andose la igualdad para alg´un n (o equivalentemente para todo n) solamente para una rotaci´on de la funci´on de Koebe k(z) = z (1 − z) 2 = X∞ n=1 nzn , z ∈ D. Tras un breve repaso de las propiedades elementales de funciones univalentes, dedicamos un cap´ıtulo al desarrollo de la teor´ıa de Loewner, de gran relevancia en esta ´area y una parte muy fundamental en la demostraci´on de De Branges de la Conjetura de Bieberbach. A continuaci´on, se revisan los polinomios de Jacobi as´ı como numerosas propiedades de los mismos para poder llegar a la demostraci´on del Teorema de Askey-Gasper, un teorema esencial para la prueba de la Conjetura de Bieberbach. Por ´ultimo, en el cuarto cap´ıtulo mostramos que la Conjetura de Milin implica la de Bieberbach y, haciendo uso de las funciones especiales de De Branges, mostramos la veracidad de la Conjetura de Milin. |
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