A metric approach to the study of manifolds of positive scalar curvature
Aquesta tesi està dedicada a la topologia i la geometria de les varietats riemannianes de curvatura escalar estrictament positiva. Per abordar el seu estudi hem adoptat un punt de vista mètric, concretament a través de dues generalitzacions mètriques de la noció de curvatura escalar estrictament pos...
| Autor: | |
|---|---|
| Tipo de recurso: | tesis doctoral |
| Fecha de publicación: | 2025 |
| País: | España |
| Institución: | Universitat Autònoma de Barcelona |
| Repositorio: | Dipòsit Digital de Documents de la UAB |
| Idioma: | inglés |
| OAI Identifier: | oai:ddd.uab.cat:320734 |
| Acceso en línea: | https://ddd.uab.cat/record/320734 |
| Access Level: | acceso abierto |
| Palabra clave: | Curvatura escalar Scalar curvature Courbure scalaire Radi d'emplenament Fill radius Radio de relleno Rayon de remplissage Amplada d'Urysohn Urysohn width Ancho de Urysohn Largeur d'Urysohn Ciències Experimentals |
| Sumario: | Aquesta tesi està dedicada a la topologia i la geometria de les varietats riemannianes de curvatura escalar estrictament positiva. Per abordar el seu estudi hem adoptat un punt de vista mètric, concretament a través de dues generalitzacions mètriques de la noció de curvatura escalar estrictament positiva. En primer lloc, ens centrem en la topologia de les 3-varietats riemannianes de curvatura escalar estrictament positiva, tot proporcionant una nova obstrucció a l'existència de mètriques riemannianes completes de curvatura escalar estrictament positiva per les 3-varietats no compactes. Concretament, demostrem que si una 3-varietat orientable M admet una mètrica riemanniana completa la curvatura escalar de la qual és estrictament positiva i decreix subquadràticament a l'infinit, aleshores M es descompon com una suma connexa (possiblement infinita) de varietats esfèriques i de sumands S^2 x S^1. Com a conseqüència, la varietat M admet una mètrica Riemanniana completa de curvatura escalar uniformement estrictament positiva, resolent parcialment una conjectura de Gromov. Aquest resultat constitueix una generalització d'un teorema de Gromov i Wang, tot utilitzant una aproximació al problema de natura diferent, basada en tècniques mètriques i topològiques. Més generalment, derivem la descomposició topològica sota una condició més general en termes dels discs d'emplenament de corbes tancades en el recobriment universal, basada en la noció de radi d'emplenament, sense cap hipòtesi addicional sobre la curvatura de la varietat. Així mateix, la taxa de decreixement de la curvatura escalar en el teorema de descomposició és òptima. En efecte, la varietat R^2 x S^1 admet una mètrica riemanniana completa de curvatura escalar estrictament positiva amb un decreixement exactament quadràtic, però no es descompon com una suma connexa de varietats esfèriques i de productes S^2 x S^1. Tot seguit, ens dediquem a explorar la noció de curvatura escalar macroscòpica i la seva relació amb la geometria sistòlica de les varietats. Més precisament, establim una versió macroscòpica d'una cèlebre desigualtat sistòlica deguda a Bray--Brendle--Neves sobre l'àrea de les 2-esferes no contràctils dins una varietat de curvatura escalar estrictament positiva. Demostrem que si una n-varietat riemanniana completa amb una (n-1)-homologia amb coefficients a Z_2 o a Z no trivial té curvatura escalar macroscòpica estrictament positiva, aleshores la varietat conté una hipersuperfície no nul·la en homologia amb una (n-2)-amplada d'Urysohn petita. La prova d'aquest resultat es fonamenta en una adaptació d'una versió macroscòpica, deguda a Guth, de l'argument de descens de Schoen--Yau. |
|---|