Type Theory for (∞,∞)-Categories, and Decomposition Spaces
Aquesta tesi està formada per dos capítols, un sobre CaTT, una teoria de tipus per a (∞, ∞)-categories, i un sobre espais de descomposició, en col·laboració amb Joachim Kock. El primer capítol conté dues parts. La primera part parteix de l'observació que la dimensió d'una operació coincide...
| Autor: | |
|---|---|
| Tipo de recurso: | tesis doctoral |
| Estado: | Versión publicada |
| Fecha de publicación: | 2025 |
| País: | España |
| Institución: | CBUC, CESCA |
| Repositorio: | TDR. Tesis Doctorales en Red |
| OAI Identifier: | oai:www.tdx.cat:10803/695093 |
| Acceso en línea: | http://hdl.handle.net/10803/695093 |
| Access Level: | acceso abierto |
| Palabra clave: | Teoria de tipus Type Theory Teoría de tipos Teoria de categories Category Theory Teoría de categorías Espais de descomposició Decomposition Spaces Espacios de descomposición Ciències Experimentals 51 |
| Sumario: | Aquesta tesi està formada per dos capítols, un sobre CaTT, una teoria de tipus per a (∞, ∞)-categories, i un sobre espais de descomposició, en col·laboració amb Joachim Kock. El primer capítol conté dues parts. La primera part parteix de l'observació que la dimensió d'una operació coincideix amb la del diagrama subjacent que s'està composant, mentre que la dimensió d'una coherència és estrictament més gran que la del diagrama subjacent. Basant-nos en aquesta observació, proposem un nou conjunt de normes per descriure una (∞, ∞)-categoria, en el que les "condicions de contorn de variables lliures" de les normes originals a CaTT són substituides per condicions de "contorn" dimensionals. Les noves normes tenen l'avantatge de ser més geomètriques. El resultat principal consisteix en què les noves normes i les originals són mutuament admisibles. Construint el resultat principal, s'han obtingut diversos resultats tècnics d'interès independent. Un d'ells és el fet que les variables lliures d'un "pasting context" formen per si mateixes un "pasting context". A la segona part introduim i estudiem una noció purament sintàctica de cons laxos i (∞, ∞)-limits en computads finits a CaTT. Convenientment, els computads finits són precisament els contexts a CaTT. Definitm un con sobre un context com un context obtingut per inducció sobre la llista de variables del context subjacent. En el cas en què el context subjacent és globular donem una descripció explícita del con i conjecturem que una descripció anàloga és vàlida per a contexts generals. Fem servir el con per controlar els tipus dels "term constructors" pel con universal. La implementació de la propietat universal segueix una estructura similar. Partint d'un con com a contexte, un conjunt de normes d'extensió de contexts produeixen un context amb la forma de transfor entre cons, i.e. un morfisme d'ordre superior entre cons. Com en el cas dels cons, utilitzem aquest context com a plantilla per a controlar els tipus dels "term constructors" necessaris per a la propietat universal. El segon capítol, sobre espais de descomposició, té relació amb un teorema de Bergner, Osorno, Ozornova, Rovelli i Scheimbauer, que estableix una equivalència entre espais 2-Segal i certs espais double Segal augmentats, i també amb l'obra de Carlier, que va introduir la noció de "bicomodule configuration". Establim equivalències més generals, involucrant aplicacions simplicials d'espais 2-Segal i "abacus bicomodule configurations", extenent els resultats de Carlier. L'equivalència BOORS es recupera del cas particular de l'aplicació identitat. Un dels ingredients principals és un anàlisi de la relació entre les nocions d'augment de BOORS i Carlier, considerades independents prèviament. |
|---|