Estudi de la dinàmica d'algunes aplicacions al pla
L'objectiu d'aquesta tesi doctoral és estudiar la dinàmica associada a certes aplicacions en el pla, incloent l'estudi d'objectes com ara les òrbites periòdiques, els continus de punts periòdics, els nombres de rotació i les simetries de Lie, entre d'altres. Més específicame...
| Autor: | |
|---|---|
| Tipo de recurso: | tesis doctoral |
| Estado: | Versión publicada |
| Fecha de publicación: | 2017 |
| País: | España |
| Institución: | CBUC, CESCA |
| Repositorio: | TDR. Tesis Doctorales en Red |
| OAI Identifier: | oai:www.tdx.cat:10803/457716 |
| Acceso en línea: | http://hdl.handle.net/10803/457716 |
| Access Level: | acceso abierto |
| Palabra clave: | Aplicacons birracionals Aplicaciones biracionales Birational maps Òrbites periòdiques Órbitas periódicas Periodic orbits Transformacions de Landen Transformaciones de Landen Landen transformations Ciències Experimentals 51 |
| Sumario: | L'objectiu d'aquesta tesi doctoral és estudiar la dinàmica associada a certes aplicacions en el pla, incloent l'estudi d'objectes com ara les òrbites periòdiques, els continus de punts periòdics, els nombres de rotació i les simetries de Lie, entre d'altres. Més específicament, es prova que qualsevol aplicació birracional integrable del pla que preservi una fibració de gènere 0 posseeix una simetria de Lie i una mesura invariant, la qual cosa permet una nova via per a l'estudi de la dinàmica global d'aquestes aplicacions. En particular, per exemples concrets es dona l'expressió explícita de la funció nombre de rotació i del conjunt de períodes de les aplicacions considerades. A la vegada, també es presenten tres metodologies per a trobar el continu de punts periòdics amb un període fix per aplicacions racionals integrables amb integral primera racional. Les dues primeres metodologies són conegudes, la tercera és nova. Al treball s’apliquen aquests mètodes quan les aplicacions són birracionals i les corbes de nivell de les integrals primeres tenen o bé gènere 0, o bé 1, de forma genèrica. A diferència dels altres mètodes, on es fa servir l’estructura algebraica de les corbes invariants, el nou mètode és estrictament computacional, i es basa en l'estudi de la resultant associada a les equacions que caracteritzen les òrbites periòdiques i les corbes algebraiques invariants. Altrament, en aquesta tesi, s’estudien certes transformacions de Landen. Es presenten diversos exemples i s’apliquen al càlcul d'integrals definides. Considerem per exemple, la transformació de Landen associada a una integral racional formada per polinomis amb termes parells, amb el numerador de grau 4 i el denominador de grau 6. Aquesta transformació té un sistema dinàmic associat definit per una aplicació al pla estudiada per Boros i Moll (2000), i per Chamberland i Moll (2006). Al treball es presenten les diferents regions invariants d’aquest sistema dinàmic, i la relació entre la dinàmica de l'aplicació i la convergència de la integral considerada. Per al sistema dinàmic associat, es prova l'existència de punts fixos i 3-periòdics per demostrar que una conjectura proposada a V.H. Moll a Numbers and functions. From a classical experimental mathematician’s point of view. Student Mathematical Library, 65 (American Mathematical Society, Providence RI 2012), no és certa. Per provar-ho, es desenvolupa una metodologia que pot ser aplicada a l'estudi dels punts periòdics d'altres sistemes dinàmics discrets. Aquesta metodologia consisteix en: convertir la caracterització dels punts periòdics en un problema algebraic; la combinació d'un algorisme basat en el mètode de Sturm per isolar totes les arrels reals d'un polinomi d'una variable i d'un procediment de descart de possibles solucions per a sistemes d'equacions polinòmiques; i en l'aplicació del Teorema de Poincaré-Miranda. Finalment, es fa un estudi numèric-analític que mostra evidències de l'existència de comportaments homoclínics associats a un dels punts fixos de l'aplicació i de punts a la intersecció de la varietat inestable d'aquest punt fix i el conjunt de no-definició del sistema dinàmic. |
|---|