Contributions to the study of periodic orbits and invariant manifolds in dynamical systems
Aquesta tesi tracta l'estudi de varietats invariants i òrbites periòdiques de sistemes dinàmics discrets i continus. La memòria està dividida en dues parts que es poden llegir de manera independent. La primera part (Capítols 1-6) està dedicada a l'estudi de varietats invariants associades...
| Autor: | |
|---|---|
| Tipo de recurso: | tesis doctoral |
| Fecha de publicación: | 2023 |
| País: | España |
| Institución: | Universitat Autònoma de Barcelona |
| Repositorio: | Dipòsit Digital de Documents de la UAB |
| Idioma: | inglés |
| OAI Identifier: | oai:ddd.uab.cat:280978 |
| Acceso en línea: | https://ddd.uab.cat/record/280978 |
| Access Level: | acceso abierto |
| Palabra clave: | Varietat invariant Variedad invariante Invariant manifold Òrbita periòdica Órbita periódica Periodic orbit Punt parabòlic Punto parabólico Parabolic point Ciències Experimentals |
| Sumario: | Aquesta tesi tracta l'estudi de varietats invariants i òrbites periòdiques de sistemes dinàmics discrets i continus. La memòria està dividida en dues parts que es poden llegir de manera independent. La primera part (Capítols 1-6) està dedicada a l'estudi de varietats invariants associades a punts parabòlics i tors invariants parabòlics. A la segona part (Capítols 7-9) s'estudien les òrbites periòdiques de sistemes dinàmics en varietats. En els capítols 2 i 3 estudiem l'existència i regularitat de varietats invariants d'aplicacions al pla amb un punt fix parabòlic amb part nilpotent utilitzant el mètode de la parametrització. L'estudi es fa per aplicacions analítiques i per aplicacions finitament diferenciables. En el cas analític, demostrem l'existència d'una varietat invariant analítica unidimensional imposant certes condicions en els coeficients dels termes no lineals de l'aplicació. En el cas diferenciable, demostrem que si la regularitat de l'apliació és més gran que un cert valor, aleshores existeix una varietat invariant de la mateixa regularitat, fora del punt fix. En el capítol 4 considerem un problema anàleg al dels capítols 2 i 3, però per a camps vectorials al pla. Obtenim els resultats d'existència de corbes invariants d'aquests camps vectorials utilitzant els resultats dels capítols anteriors i el fet que, en condicions adequades, les varietats invariants d'un camp vectorial són les mateixes que les varietats invariants del seu flux a temps t. En els capítols 5 i 6 considerem aplicacions i camps vectorials que tenen un tor invariant parabòlic amb part nilpotent de dimensió d. En aquest context, donem condicions sobre els coeficients dels termes no lineals de l'aplicació (resp. camp vectorial) pels quals el tor invariant té varietats invariants estables i inestables. També considerem el mateix problema per a camps vectorials no autònoms que depenen quasiperiòdicament del temps, i presentem algunes aplicacions dels resultats obtinguts. Tots els resultats d'existència de varietats invariants s'obtenen en dos passos. En el primer pas presentem un algoritme per calcular una aproximació d'una parametrització de la varietat invariant. En el segon pas, presentem un resultat «a posteriori», que assegura que existeixi una varietat invariant veritable propera a aquesta aproximació. Combinant els dos resultats s'obté l'existència d'una varietat invariant que, a més, està ben aproximada per la parametrització calculada en el primer pas. Al capítol 8 utilitzem els nombres de Lefschetz i la funció zeta de Lefschetz per obtenir informació sobre el conjunt de períodes d'alguns difeomorfismes en varietats compactes. Considerem la família de diffeomorfismes de Morse-Smale definits a l'esfera n-dimensional, als productes de dues esferes de dimensió arbitrària, a l'espai projectiu complex n-dimensional i a l'espai projectiu de quaternions n-dimensional. A continuació, descrivim el conjunt minimal de períodes de Lefschetz per a aquests difeomorfismes de Morse-Smale, que és un subconjunt del conjunt de períodes que es conserven sota l'equivalència d'homotopia. Finalment, al capítol 9 estudiem l'existència de cicles límit de camps vectorials lineals en varietats. És ben sabut que els camps vectorials lineals a R^n no poden tenir cicles límit perquè o bé no tenen òrbites periòdiques, o bé les seves òrbites periòdiques formen un continu. En aquest capítol mostrem que els camps vectorials lineals definits en algunes varietats diferents de R^n poden tenir cicles límit i considerem la qüestió de quants cicles límit poden tenir com a màxim. |
|---|