Sylvester matrix rank functions on crossed products and the Atiyah problem
La motivació principal de la tesi ha estat l'estudi del problema d'Atiyah, que es pregunta sobre els possibles valors que poden assolir els nombres de Betti l2 de grups discrets numerables G. Aquesta pregunta va motivar un seguit d'articles en els quals es van formular (i en alguns ca...
| Autor: | |
|---|---|
| Tipo de recurso: | tesis doctoral |
| Fecha de publicación: | 2019 |
| País: | España |
| Institución: | Universitat Autònoma de Barcelona |
| Repositorio: | Dipòsit Digital de Documents de la UAB |
| Idioma: | inglés |
| OAI Identifier: | oai:ddd.uab.cat:207875 |
| Acceso en línea: | https://ddd.uab.cat/record/207875 https://dx.doi.org/urn:doi:10.1017/etds.2019.37 |
| Access Level: | acceso abierto |
| Palabra clave: | Atiyah-Singer, Teorema de |
| Sumario: | La motivació principal de la tesi ha estat l'estudi del problema d'Atiyah, que es pregunta sobre els possibles valors que poden assolir els nombres de Betti l2 de grups discrets numerables G. Aquesta pregunta va motivar un seguit d'articles en els quals es van formular (i en alguns casos rellevants demostrar) enunciats més forts que la pregunta original d'Atiyah, que preguntava si hi havia grups discrets numerables G amb nombres de Betti l2 irracionals. Recentment, la pregunta original d'Atiyah ha estat resolta, i diversos autors (entre ells Austin i Grabowski) han trobat exemples de grups amb nombres de Betti l2 irracionals. El grup lamplighter és un d'aquests grups. La tesi presenta un enfocament algebraic al problema d'Atiyah, considerant la clausura -regular de l'àlgebra de grup dins de l'àlgebra U(G) d'operadors (possiblement no acotats) a liats a l'àlgebra de von Neumann de G. Al treballar amb el grup lamplighter, i seguint idees d'Ara i Goodearl, es construeix una seqüència de -subàlgebres de l'àlgebra de grup, que proporciona un mètode per a realitzar l'àlgebra de grup dins del factor continu de von Neumann M. Això permet construir una matriu de rang de Sylvester a l'àlgebra de grup, que en aquest cas particular coincideix amb la funció de rang que aquesta hereta de U(G). Al observar que l'àlgebra del grup lamplighter es pot realitzar com a una àlgebra de producte creuat provinent d'un sistema dinàmic, i usant idees de Putnam, es mostra en el Capítol 2 que la construcció anterior es pot generalitzar a àlgebres de producte creuat d'un espai de Cantor per un homeomor sme, donant així una manera explícita de construir funcions de rang de Sylvester en aquestes àlgebres de producte creuat. S'estudia també la unicitat d'aquestes funcions de rang. Aquesta funció de rang dóna lloc a una noció de dimensió, de manera que ens permet de nir nombres de Betti l2 en aquest entorn més general de manera que aquests coincideixen amb la noció clàssica de nombres de Betti l2 en la situació de l'exemple que motiva tota la construcció, l'àlgebra del grup lamplighter. Seguint idees de Grabowski i aplicant les tècniques anteriors, s'ha trobat tota una família de nombres de Betti l2 irracionals provinents de l'àlgebra del grup lamplighter, i de fet s'ha pogut caracteritzar completament els nombres de Betti l2 que poden sorgir de les anomenades àlgebres d'hodòmetres, que també són un cas particular d'àlgebres de producte creuat. Això es fa en el Capítol 3. El Capítol 4 tracta sobre completacions en rang de k-àlgebres ultramatricials, essent k un cos arbitrari. Es dóna una generalització d'un resultat de von Neumann i de Halperin, establint així una interessant analogia amb l'estructura del factor II1 hiper nit en la teoria de les àlgebres de von Neumann. S'obtenen resultat anàlegs en el cas de D-anells, i anells amb involució . També presentem, en el Capítol 5, un possible enfocament analític per atacar el problema d'Atiyah, a través de l'estudi dels que s'anomenen estats KMS sobre l'àlgebra de Toeplitz d'un grup(oide) G actuant sobre un graf E. |
|---|