Colored combinatorial structures: homomorphisms and counting
A partir del problema de los cuatro colores se inicia el estudio de coloraciones en grafos; teoría que ha existido ya por más de 150 años, y se ocupa del problema fundamental de partir un conjunto en clases de acuerdo con ciertas reglas. Con esta modesta base, dicha teoría se sitúa en un punto centr...
| Autor: | |
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| Tipo de recurso: | tesis doctoral |
| Fecha de publicación: | 2009 |
| País: | España |
| Institución: | Universitat Politècnica de Catalunya (UPC) |
| Repositorio: | UPCommons. Portal del coneixement obert de la UPC |
| Idioma: | inglés |
| OAI Identifier: | oai:upcommons.upc.edu:2117/94443 |
| Acceso en línea: | https://hdl.handle.net/2117/94443 https://dx.doi.org/10.5821/dissertation-2117-94443 |
| Access Level: | acceso abierto |
| Palabra clave: | Grafs, Teoria de Àrees temàtiques de la UPC::Matemàtiques i estadística |
| Sumario: | A partir del problema de los cuatro colores se inicia el estudio de coloraciones en grafos; teoría que ha existido ya por más de 150 años, y se ocupa del problema fundamental de partir un conjunto en clases de acuerdo con ciertas reglas. Con esta modesta base, dicha teoría se sitúa en un punto central de las matemáticas discretas con una gran cantidad de generalizaciones y aplicaciones contemporáneas. En esta tesis, centramos nuestro interés en dos áreas muy activas de investigación, que provienen de problemas en coloraciones: la teoría de Homomorfismos, y la teoría de Ramsey. La teoría de homomorfismos se ocupa del estudio de los morfismos naturales entre objetos pertenecientes a clases de estructuras combinatorias. El número cromático de un grafo simple G, se puede definir, en este contexto, como el orden mínimo de un grafo completo que admita un homomorfismo desde G. Por esta razón, la teoría de homomorfismos se ha estudiado extensamente como generalización de la teoría de coloraciones. Una excelente referencia en este tema es el libro de Hell y Nesetril {Graphs and homomorphisms, Oxf. Univ. Press, 2004}. La teoría de Ramsey estudia la existencia de ciertos patrones de color en estructuras coloreadas. A partir de los teoremas de Ramsey, Hilbert, Schur y van der Waerden, dicha teoría se ha desarrollado como una bella y amplia área de la combinatoria, donde se usan una gran variedad de técnicas provenientes de diversas ramas de la matemática, y cuyos resultados forman una parte muy importante de la teoría de grafos y la combinatoria en general. Una buena referencia en esta área es el libro de Langman y Robertson {Ramsey Theory on the Integers, Stud. Math. Lib. 24, AMS, 2003}. El trabajo en esta tesis está organizado en dos partes. La primera, se ocupa del estudio de homomorfismos de grafos mixtos coloreados, que son grafos con vértices unidos tanto por arcos coloreados como por aristas coloreadas. El número cromático de un grafo mixto coloreado G, se define como el mínimo orden do otro grafo mixto coloreado H, con la propiedad de que existe un homomorfismo (que preserva colores) de G en H. Estas nociones fueron introducidas por Nesetril y Raspaud en {Colored homomorphisms of colored mixed graphs, J. C. T. Ser. B 80 (2000)}. Generalizando algunos resultados de grafos orientados, estudiamos el número cromático mixto coloreado de las siguientes clases de grafos: caminos, árboles, grafos con número cromático acíclico acotado, k-árboles parciales, grafos planos, grafos outerplanos y grafos escasos en aristas. Motivados por la conjetura de la dicotomía en sistemas relacionales, nos interesamos en el estudio de la clases de grafos 2-coloreados en aristas y su relación con los grafos orientados. La segunda parte de la tesis se ubica dentro de la teoría de Ramsey aritmética. Estudiamos la existencia y enumeración de estructuras coloreadas, sobre todo monocromáticas y heterocromáticas, en coloraciones de grupos abelianos. Las estructuras que consideramos son soluciones de sistemas de ecuaciones en grupos, siendo los ejemplos más importantes las progresiones aritméticas y las ternas de Schur. En esta parte damos una descripción estructural de aquellas coloraciones en grupos abelianos que no contengan progresiones aritmeticas heterocromáticas de tamaño 3. Dicha descripción prueba una conjetura de Jungic et al. {Rainbow Ramsey Theory. Integers: E. J. C. N. T. 5(2) A9. (2005)} concerniente al tamaño de la clase cromática mas pequeña en dichas coloraciones de grupos cíclicos. |
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