On the stratification of smooth plane curves by automorphism groups
Curvas proyectivas no singulares sobre un cuerpo con grupo de automorfismo no trivial son de gran interés en Geometría Aritmética. En la tesis, estudiamos la estratificación de las curvas planas no singulares (de género mayor o igual a tres) por sus grupos de automorfismos y tratamos con aspectos de...
| Author: | |
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| Format: | doctoral thesis |
| Publication Date: | 2017 |
| Country: | España |
| Institution: | Universitat Autònoma de Barcelona |
| Repository: | Dipòsit Digital de Documents de la UAB |
| Language: | English |
| OAI Identifier: | oai:ddd.uab.cat:187681 |
| Online Access: | https://ddd.uab.cat/record/187681 |
| Access Level: | Open access |
| Keyword: | Corbes planes Automorfismes Geometria aritmètica algebraica |
| Summary: | Curvas proyectivas no singulares sobre un cuerpo con grupo de automorfismo no trivial son de gran interés en Geometría Aritmética. En la tesis, estudiamos la estratificación de las curvas planas no singulares (de género mayor o igual a tres) por sus grupos de automorfismos y tratamos con aspectos de geometría algebraica y aritmética. En primer lugar, aportamos un estudio general de las clases (modulo -isomorfismo) de curvas planas lisas de género fijo g con un subgrupo de automorfismo fijo , donde denota una clausura algebraica fijada de . En particular, se aporta un estudio de grupos de automorfismos que aparecen y las ecuaciones definitorias asociadas en dichas clases. En segundo lugar, sea C una curva proyectiva lisa definida sobre , en particular por extensión de escalares obtenemos una curva lisa sobre y suponemos que dicha extension corresponde a una curva plana no singular. Nuestro objetivo es estudiar cuerpos de definición de modelos planos no singulares para y de sus ̀̀twists'' sobre , usando la inmersión en en lugar de la dada por el modelo canónico en . Más concretamente, preguntamos si es una curva plana lisa sobre o no; y si la respuesta es afirmativa, es entonces cada ̀̀twist'' de sobre una curva plana lisa sobre ?. Para ambas preguntas la respuesta es no en general. Obtenemos resultados para las cuales las preguntas anteriores siempre tienen una respuesta afirmativa, y mostramos diferentes ejemplos con respecto a la respuesta general negativa. Curiosamente, en la forma de obtener estos ejemplos, tenemos que manejar con superficies no-triviales de Brauer-Severi, y somos capaces de calcular ecuaciones explícitas de una no trivial. En tercer lugar, obtenemos una denominada clasificación representativa de los estratos por grupo de automorfismos de curvas planas no singulares sobre de género , donde es perfecto de característica o . Curiosamente, en la forma de obtener estas familias, encontramos dos fenómenos notables que no aparecieron anteriormente para género 3. Una, es la existencia de un estrato final no zero dimensional de curvas planas no-singular. Observamos en la tesis que esta es una situación usual cuando el género crece y aportamos una explicación. Describimos explícitamente familias representativas para todos los estratos, excepto para el estrato con grupo de automorfismo cíclico de orden , pero en este caso podemos demostrar la existencia de tal familia aplicando una versión del teorema de Lüroth en dimensión 2. Aquí encontramos la segunda diferencia con el caso de género inferior donde las técnicas conocidas no funcionan completamente. Por último, sea un cuerpo perfecto de característica distinta de , y sea una curva plana lisa sobre cuyo grupo de automorfismo de C sea -conjugado a un grupo diagonal. Se sabe por el trabajo de B. Huggins en su tesis doctoral (2010, Berkeley) que el cuerpo de moduli de , relativo a la extensión de Galois no necesita ser un cuerpo de definición. Motivados por estos resultados, nos preguntamos sobre las caracterizaciones de tales curvas no definibles sobre su cuerpo de moduli. Distinguimos entre los dos casos dependiendo de si el número de puntos del plano proyectivo fijados por el grupo de automorfismo es finito o infinito. Nuestros resultados pueden ser utilizados como una fuente constructiva de ejemplos para curvas planas lisas con automorfismo cíclico donde el cuerpo de moduli no es un cuerpo de definición. |
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