Alexandroff Spaces
[ES] Un espacio topológico de Alexandroff es un tipo especial de espacio topológico que verifica que la intersección arbitraria de conjuntos abiertos es un conjunto abierto. Equivalentemente, cualquier punto del espacio posee un entorno abierto minimal. Estos espacios fueron introducidos en [Alexand...
| Autor: | |
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| Tipo de recurso: | tesis de maestría |
| Fecha de publicación: | 2023 |
| País: | España |
| Institución: | Universitat Politècnica de València (UPV) |
| Repositorio: | RiuNet. Repositorio Institucional de la Universitat Politécnica de Valéncia |
| Idioma: | español |
| OAI Identifier: | oai:riunet.upv.es:10251/202313 |
| Acceso en línea: | https://riunet.upv.es/handle/10251/202313 |
| Access Level: | acceso abierto |
| Palabra clave: | Topología primal Conjetura de Collatz Topología de Alexandroff Funciones aritméticas Arithmetic functions Alexandroff topology Collatz conjecture Primal topology MATEMATICA APLICADA Máster Universitario en Investigación Matemática-Màster Universitari en Investigació Matemàtica |
| Sumario: | [ES] Un espacio topológico de Alexandroff es un tipo especial de espacio topológico que verifica que la intersección arbitraria de conjuntos abiertos es un conjunto abierto. Equivalentemente, cualquier punto del espacio posee un entorno abierto minimal. Estos espacios fueron introducidos en [Alexandroff, 1937] donde se demuestra una propiedad esencial de estos espacios: la equivalencia entre la categoría de los espacios de Alexandroff cuyos morfismos son las funciones continuas y la categoría de espacios preordenados cuyos morfismos son las funciones isótonas. A pesar de la importancia de esta propiedad, estos espacios permanecieron casi olvidados y no fue hasta hace unos años cuando se comienzan a estudiar en profundidad [Arenas, 1999]. Más recientemente, en [Richmond, 2008] se prueba que, a partir de la acción de un semigrupo sobre un conjunto, se puede construir una topología de Alexandroff considerando como base de la topología el conjunto de las órbitas de la acción. De hecho, en este artículo se demuestra que existe una correspondencia biyectiva entre las topologías de Alexandroff y los semigrupos de transformación saturados. Esta nueva aproximación a los espacios de Alexandroff llevó a la introducción en [Shirazi & Golestani, 2011] de los denominados espacios de Alexandroff funcionales definidos mediante la acción del semigrupo de transformación asociado a la imagen inversa de una aplicación de un conjunto en él mismo. Estos espacios aparecieron de forma independiente en el contexto de sistemas dinámicos discretos en [Echi, 2012] bajo el nombre de espacios primales, como método para construir un flujo de Gottschalk a partir de un flujo arbitrario. Así, en los últimos años, la topología funcional de Alexandroff o topología primal ha cobrado importancia y se han estudiado algunas de sus propiedades topológicas. Sorprendentemente, en una serie reciente de artículos, Mejías, Vielma y Guale han usado la topología primal para estudiar la famosa conjetura de Collatz de teoría de números. La conjetura de Collatz, también llamada problema 3n+1, se formuló como problema abierto en la primera mitad del siglo XX. Aunque el enunciado de la conjetura es muy sencillo, matemáticos de distintas áreas la han estudiado durante años sin lograr probarla o refutarla (véase [Lagarias, 2023]). También ha sido abordada con enfoques probabilísticos (el más reciente debido a [Tao, 2022]) y enfoques computacionales (se ha verificado que es cierta para valores naturales menores a 268 ). En el caso del trabajo de [Mejías, Vielma y Guale, 2019, 2020, 2021], se aborda el problema desde un punto de vista topológico, y también algebraico (semianillos locales), de forma que obtienen proposiciones equivalentes a la conjetura de Collatz basadas en las propiedades topológicas y algebraicas del conjunto de los números naturales dotado con la topología primal asociada a la función de Collatz. De este modo, resulta muy interesante continuar con el estudio de las topologías de Alexandroff y, particularmente, de las topologías primales, y con el análisis de su aplicación al ámbito de este tipo de problemas de teoría de números. En concreto, en este trabajo se propone al estudiante: 1. Hacer una investigación bibliográfica sobre las topologías de Alexandroff y sus propiedades básicas (separación, conexión, compacidad, etc.). 2. Estudiar el comportamiento de las topologías de Alexandroff mediante operaciones de conjuntos. 3. Investigar la relación entre espacios de Alexandroff y conjuntos casiordenados. 4. Estudiar la bibliografía de espacios primales y obtener resultados sobre sus propiedades básicas (separación, conexión, compacidad, etc.) 5. Hacer una investigación bibliográfica sobre el uso de la topología primal en la conjetura de Collatz. |
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