Analytic and numerical tools for the study of quasi-periodic motions in hamiltonian systems.
Premi Extraordinari de Doctorat 2012 (promoció del curs 2009-2010), àmbit de Ciències
| Author: | |
|---|---|
| Format: | doctoral thesis |
| Publication Date: | 2010 |
| Country: | España |
| Institution: | Universitat Politècnica de Catalunya (UPC) |
| Repository: | UPCommons. Portal del coneixement obert de la UPC |
| Language: | English |
| OAI Identifier: | oai:upcommons.upc.edu:2117/94010 |
| Online Access: | https://hdl.handle.net/2117/94010 https://dx.doi.org/10.5821/dissertation-2117-94010 |
| Access Level: | Open access |
| Keyword: | càlcul de corbes invariants càlcul de nombres de rotació Teoria KAM Sistemes dinàmics Tors invariants Dinàmica quasi-periòdica. Sistemes hamiltonians Anàlisi numèrica Equacions diferencials Àrees temàtiques de la UPC::Matemàtiques i estadística |
| id |
ES_15b1e843d312b7d90db8024dcf337095 |
|---|---|
| oai_identifier_str |
oai:upcommons.upc.edu:2117/94010 |
| network_acronym_str |
ES |
| network_name_str |
España |
| repository_id_str |
|
| dc.title.none.fl_str_mv |
Analytic and numerical tools for the study of quasi-periodic motions in hamiltonian systems. |
| title |
Analytic and numerical tools for the study of quasi-periodic motions in hamiltonian systems. |
| spellingShingle |
Analytic and numerical tools for the study of quasi-periodic motions in hamiltonian systems. Luque Jimenez, Alejandro càlcul de corbes invariants càlcul de nombres de rotació Teoria KAM Sistemes dinàmics Tors invariants Dinàmica quasi-periòdica. Sistemes hamiltonians Anàlisi numèrica Equacions diferencials Àrees temàtiques de la UPC::Matemàtiques i estadística |
| title_short |
Analytic and numerical tools for the study of quasi-periodic motions in hamiltonian systems. |
| title_full |
Analytic and numerical tools for the study of quasi-periodic motions in hamiltonian systems. |
| title_fullStr |
Analytic and numerical tools for the study of quasi-periodic motions in hamiltonian systems. |
| title_full_unstemmed |
Analytic and numerical tools for the study of quasi-periodic motions in hamiltonian systems. |
| title_sort |
Analytic and numerical tools for the study of quasi-periodic motions in hamiltonian systems. |
| dc.creator.none.fl_str_mv |
Luque Jimenez, Alejandro |
| author |
Luque Jimenez, Alejandro |
| author_facet |
Luque Jimenez, Alejandro |
| author_role |
author |
| dc.subject.none.fl_str_mv |
càlcul de corbes invariants càlcul de nombres de rotació Teoria KAM Sistemes dinàmics Tors invariants Dinàmica quasi-periòdica. Sistemes hamiltonians Anàlisi numèrica Equacions diferencials Àrees temàtiques de la UPC::Matemàtiques i estadística |
| topic |
càlcul de corbes invariants càlcul de nombres de rotació Teoria KAM Sistemes dinàmics Tors invariants Dinàmica quasi-periòdica. Sistemes hamiltonians Anàlisi numèrica Equacions diferencials Àrees temàtiques de la UPC::Matemàtiques i estadística |
| description |
Premi Extraordinari de Doctorat 2012 (promoció del curs 2009-2010), àmbit de Ciències |
| publishDate |
2010 |
| dc.date.none.fl_str_mv |
2010 2010-01-12 2011 2011-04-12 |
| dc.type.none.fl_str_mv |
doctoral thesis http://purl.org/coar/resource_type/c_db06 VoR http://purl.org/coar/version/c_970fb48d4fbd8a85 |
| dc.type.openaire.fl_str_mv |
info:eu-repo/semantics/doctoralThesis |
| format |
doctoralThesis |
| dc.identifier.none.fl_str_mv |
https://hdl.handle.net/2117/94010 https://dx.doi.org/10.5821/dissertation-2117-94010 |
| url |
https://hdl.handle.net/2117/94010 https://dx.doi.org/10.5821/dissertation-2117-94010 |
| dc.language.none.fl_str_mv |
Inglés eng |
| language_invalid_str_mv |
Inglés |
| language |
eng |
| dc.rights.none.fl_str_mv |
open access http://purl.org/coar/access_right/c_abf2 |
| dc.rights.openaire.fl_str_mv |
info:eu-repo/semantics/openAccess |
| rights_invalid_str_mv |
open access http://purl.org/coar/access_right/c_abf2 |
| eu_rights_str_mv |
openAccess |
| dc.format.none.fl_str_mv |
application/pdf |
| dc.publisher.none.fl_str_mv |
Universitat Politècnica de Catalunya |
| publisher.none.fl_str_mv |
Universitat Politècnica de Catalunya |
| dc.source.none.fl_str_mv |
reponame:UPCommons. Portal del coneixement obert de la UPC instname:Universitat Politècnica de Catalunya (UPC) |
| instname_str |
Universitat Politècnica de Catalunya (UPC) |
| reponame_str |
UPCommons. Portal del coneixement obert de la UPC |
| collection |
UPCommons. Portal del coneixement obert de la UPC |
| repository.name.fl_str_mv |
|
| repository.mail.fl_str_mv |
|
| _version_ |
1869403810338701312 |
| spelling |
Analytic and numerical tools for the study of quasi-periodic motions in hamiltonian systems.Luque Jimenez, Alejandrocàlcul de corbes invariantscàlcul de nombres de rotacióTeoria KAMSistemes dinàmicsTors invariantsDinàmica quasi-periòdica.Sistemes hamiltoniansAnàlisi numèricaEquacions diferencialsÀrees temàtiques de la UPC::Matemàtiques i estadísticaPremi Extraordinari de Doctorat 2012 (promoció del curs 2009-2010), àmbit de CiènciesÉs un fet ben conegut que les solucions quasi-periòdiques juguen un paper rellevant a l'hora d'entendre la dinàmica de problemes amb formulació hamiltoniana, els quals apareixen en una gran quantitat d'aplicacions en astrodinàmica, dinàmica molecular, física de d'acceleradors/plasmes o mecànica celest.<br/><br/>De forma imprecisa i imcomplerta, hom pot dir que la teoria KAM recull una serie de tècniques i metodologies per estudiar solucions quasi-periòdiques (és a dir, funcions dependents d'un conjunt de freqüències) d'equacions diferencials típicament amb formulació hamiltoniana. Tot i que la teoria KAM és ben coneguda (veure [1]), els mètodes clàssics presenten inconvenients i dificultats a l'hora d'aplicar els resultats abstractes a exemples o models concrets. Nogensmenys, a [2] es va desenvolupar un nou mètode, sense usar transformacions ni coordenades acció-angle, amb el que es poden superar molts dels inconvenients de les tècniques clàssiques. Aquest mètode fou introduit per a tors de dimensió màxima i, en la actualitat, hom considera de gran interés la seva extensió a altres contextos, com ara l'estudi de tors "sense torsió' a [4] o l'estudi de tors de dimensió inferior normalment hiperbòlics a [3]. Un dels objectius d'aquesta tesi doctoral ha estat adaptar aquests mètodes per demostrar l'existència de tors de dimensió inferior normalment el·liptics i reductibles. Les dificultats tècniques que calen superar deriven de les ressonàncies que tenen lloc entre les freqüències internes del tor i les frequències d'oscil·lació de les "direccions normals', que cal caracteritzar (mitjançant reductibilitat) per tal d'obtenir les propietats geomètriques que es fan servir en la demostració.<br/><br/>Per altra banda, a l'hora d'estudiar un tor invariant amb dinàmica quasi-periòdica, hom pot obtenir molta informació coneixent el seu vector de freqüències. És per això que el càlcul numèric d'aquests objectes ha esdevingut un tema de molt interés durant els darrers anys i ha portat al desenvolupament de diversos mètodes. Recentment s'ha desenvolupat a [5] un mètode molt eficient per calcular nombres de rotació per aplicacions del cercle. Hom pot identificar aquest problema amb el càlcul de la freqüència d'un tor unidimensional escrit en unes bones coordenades. Bona part de la recerca realitzada en la meva tesi doctoral continua la linea de treball encetada a [5]. Concretament, donada una família paramètrica de difeomorfismes del cercle, aquesta metodología s'ha adaptat en per a calcular derivades del nombre de rotació respecte de paràmetres. Mitjançant aquesta informació hom pot implementar esquemes tipus Newton per calcular corbes invariants. Com s'ha remarcat abans, hom pot aplicar aquestes tècniques a l'estudi de corbes invariants sempre que es pugui construir una aplicació del cercle amb la mateixa dinàmica. A tal efecte, hem desenvolupat un mètode sòlidament justificat que permet evitar la dificultat pràctica de buscar unes bones coordenades pel tor, extenent així els mètodes a contextes més generals com ara aplicacions "sense torsió" o senyals quasi-periodiques.<br/><br/>[1] R. de la Llave. A tutorial on KAM theory. In Smooth ergodic theory and its applications, volume 69 of Proc. Sympos. Pure Math., pages 175-292. Amer. Math. Soc., 2001.<br/><br/>[2] R. de la Llave, A. Gonzàlez, À. Jorba, and J. Villanueva. KAM theory without action-angle variables. Nonlinearity, 18(2):855-895, 2005.<br/><br/>[3] E. Fontich, R. de la Llave, and Y. Sire. Construction of invariant whiskered tori by a parametrization method. Part I: Maps and flows in finite dimensions. J. Differential Equations, 246:3136-3213, 2009.<br/><br/>[4] R. de la Llave , A. González and A Haro. Non-twist KAM theory. In preparation.<br/><br/>[5] T.M. Seara and J. Villanueva. On the numerical computation of Diophantine rotation numbers of analytic circle maps. Phys. D, 217(2):107-120, 2006.It is well-known that quasi-periodic solutions play a relevant role in order to understand the dynamics of problems with Hamiltonian formulation, which appear in a wide set of applications in Astrodynamics, Molecular Dynamics, Beam/Plasma Physics or Celestial Mechanics.<br/><br/>Roughly speaking, we can say that KAM theory gathers a collection of techniques and methodologies to study quasi-periodic solutions (that is, functions depending on a set of frequencies) of differential equations typically with Hamiltonian formulation. Although KAM theory is well-known (see [1]), classical methods present shorcomings and difficulties in order to apply the abstract results to concret examples or models. Nevertheless, in [2] a new method was developed, without using action-angle variables, which allows us avoid most of the shortcomings of classical methods. This method was introduced for tori of maximal dimension and there is a current interest in extending it to other contexts, such us the study of non-twist tori in [4] or normally hyperbolic tori in [3]. One of the goals of this thesis has been to adapt this method to deal with elliptic lower dimensional tori. The<br/>additional technical difficulties are related to resonances between the basic frequencies of the tori and the oscillations in the "normal directions", which are characterized by means of reducibility in order to obtain the geometric properties that we require in the proof.<br/><br/>Furthermore, in order to study quasi-periodic invariant tori, valuable information is obtained from the frequency vector that characterizes the motion. Part of the work in this thesis has been to develop efficient numerical methods for the study of one dimensional quasi-periodic motions in a wide set of contexts. Our methodology is an extension of a recently developed approach to compute rotation numbers of circle maps (see [5]) based on suitable averages of iterates of the map. On the one hand, the ideas of [5] have been adapted to compute derivatives of the rotation number for parametric families of circle diffeomorphisms, thus obtaining powerful tools (for example, we can implement Newton-like methods) for the study of Arnold Tongues and invariant curves for twist maps, if we can build a circle map using suitable coordinates. On the other hand, we have developed a solidly justified method that allows us to avoid the practical difficulty of looking for these coordinates, thus extending the methods to more general contexts such as non-twist maps or quasi-periodic signals.<br/><br/>[1] R. de la Llave. A tutorial on KAM theory. In Smooth ergodic theory and its applications, volume 69 of Proc. Sympos. Pure Math., pages 175-292. Amer. Math. Soc., 2001.<br/><br/>[2] R. de la Llave, A. Gonzàlez, À. Jorba, and J. Villanueva. KAM theory without action-angle variables. Nonlinearity, 18(2):855-895, 2005.<br/><br/>[3] E. Fontich, R. de la Llave, and Y. Sire. Construction of invariant whiskered tori by a parametrization method. Part I: Maps and flows in finite dimensions. J. Differential Equations, 246:3136-3213, 2009.<br/><br/>[4] R. de la Llave , A. González and A Haro. Non-twist KAM theory. In preparation.<br/><br/>[5] T.M. Seara and J. Villanueva. On the numerical computation of Diophantine rotation numbers of analytic circle maps. Phys. D, 217(2):107-120, 2006.Award-winningUniversitat Politècnica de Catalunya20102010-01-1220112011-04-12doctoral thesishttp://purl.org/coar/resource_type/c_db06VoRhttp://purl.org/coar/version/c_970fb48d4fbd8a85info:eu-repo/semantics/doctoralThesisapplication/pdfhttps://hdl.handle.net/2117/94010https://dx.doi.org/10.5821/dissertation-2117-94010reponame:UPCommons. Portal del coneixement obert de la UPCinstname:Universitat Politècnica de Catalunya (UPC)Inglésengopen accesshttp://purl.org/coar/access_right/c_abf2info:eu-repo/semantics/openAccessoai:upcommons.upc.edu:2117/940102026-05-27T15:37:01Z |
| score |
15,301603 |