On the Geometry of the Hamilton-Jacobi equation

Tesis doctoral inédita leída en la Universidad Autónoma de Madrid, Facultad de Ciencias, Departamento de Matemáticas. Fecha de lectura: 27-11-2015

Detalles Bibliográficos
Autor: Vaquero Vallina, Miguel
Tipo de recurso: tesis doctoral
Fecha de publicación:2015
País:España
Institución:Universidad Autónoma de Madrid
Repositorio:Biblos-e Archivo. Repositorio Institucional de la UAM
Idioma:español
inglés
OAI Identifier:oai:repositorio.uam.es:10486/669750
Acceso en línea:http://hdl.handle.net/10486/669750
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Palabra clave:Ecuaciones en derivadas parciales - Tesis doctorales
Sistemas dinámicos diferenciables - Tesis doctorales
Matemáticas
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spelling On the Geometry of the Hamilton-Jacobi equationVaquero Vallina, MiguelEcuaciones en derivadas parciales - Tesis doctoralesSistemas dinámicos diferenciables - Tesis doctoralesMatemáticasTesis doctoral inédita leída en la Universidad Autónoma de Madrid, Facultad de Ciencias, Departamento de Matemáticas. Fecha de lectura: 27-11-2015The classical Hamilton-Jacobi theory is well-understood from the symplectic geometry viewpoint. By Hamilton-Jacobi theory we mean the relation between certain PDE, the Hamilton-Jacobi equation, and Hamilton's equations, an ODE. These relations provide means to integrate the Hamilton's equations (or approximate them through canonical transformations). The main goal of this work is to extend the Hamilton-Jacobi theory to di erent geometric frameworks (reduction, Poisson, almost-Poisson, presymplectic...) and obtain new ways, analytic and numeric, to integrate Hamilton's equations in the corresponding geometric settings. Furthermore, one of the main points of this work is to develop a geometric setting where new numerical methods can be built on. In Chapter 1 we sketch the historical development of the Hamilton-Jacobi theory. We brie y introduce some of the connections of the theory with optics and other analytical, geometrical and dynamical issues. In this chapter, we introduce several viewpoints and sketch their connections: analytic, geometric and dynamic. We emphasize the role of lagrangian submanifolds, because lagrangian submanifolds will be the keystone to achieve our goals. In Chapter 2 we develop a reduction theory for the Hamilton-Jacobi equation. Reduction is one of the oldest and most useful techniques in geometric mechanics, so it is natural to wonder if that theory can be extended to the Hamilton-Jacobi theory, and take advantage of it. Ge and Marsden attempted to solve that question in [33]. We propose a new approach, general enough to include the previous ones and to give new insights to develop more applications. In Chapter 3, based on symplectic groupoids, we construct a Hamilton-Jacobi theory for linear Poisson structures (duals of Lie algebroids). This framework is very interesting in order to integrate analytically and numerically Hamilton's equations, and it solves some previous questions of the area. We review and complete some previous works by Channell, Ge, Marsden, Scovel and Weinstein. In Chapter 4 we present a Hamilton-Jacobi theory for almost-Poisson manifolds. The main objective is to understand from a purely geometric way the Hamilton-Jacobi theory for non-holonomic systems in [18, 40, 48]. Chapter 5 includes some extensions of the Hamilton-Jacobi theory, in order to deal with singular lagrangians. Singular lagrangians are common in classical eld theory, and so understanding them in the classical mechanics context seems to be a natural step. Finally, some conclusions and future work are analyzed in the last part of this thesisLa teoría clásica de Hamilton-Jacobi es, hoy en día, bien conocida desde el punto de vista de la geometría simpléctica. A lo largo de esta memoria por teoría de Hamilton-Jacobi se entiende la relación entre cierta EDP, la ecuación de Hamilton-Jacobi, y las ecuaciones de Hamilton (EDO). Ello proporciona medios para integrar las ecuaciones de Hamilton, o aproximarlas a través de transformaciones canónicas. La meta principal de este trabajo es extender esa teoría a otros contextos (reducción, Poisson, almost-Poisson, presimpléctico...) y obtener nuevas formas, analíticas y numéricas, de integrar las ecuaciones de Hamilton en otros marcos geométricos. Más aún, uno de los puntos principales tratados aquí es el desarrollo de herramientas geométricas para la implementación de nuevos métodos numéricos. En el Capítulo 1 esbozamos el desarrollo histórico de la teoría de Hamilton-Jacobi. Introducimos brevemente algunas de las conexiones de la teoría con la óptica y otros temas analíticos y dinámicos. Enfatizamos el papel de las subvariedades lagrangianas, porque dichas subvariedades serán la piedra angular para alcanzar nuestros objetivos. En el Capítulo 2 presentamos una teoría de reducción de la ecuación de Hamilton- Jacobi. La teoría de reducción es una de las más antiguas y útiles técnicas de la mecánica geométrica, por lo que es muy natural preguntarse si dicha teoría puede ser combinada con la teoría de Hamilton-Jacobi y así obtener nuevos resultados basándose en ella. Ge y Marsden dieron los primeros pasos en esta dirección en [33]. Nosotros proponemos una nueva aproximación, suficientemente general como para incluir los resultados previos, pero al mismo tiempo damos una nueva visión y más aplicaciones. En el Capítulo 3, usando grupoides simplécticos construimos una teoría de Hamilton- Jacobi para estructuras de Poisson linales (en el dual de un algebroide de Lie). Esta visión es muy interesante de cara a la integración analítica y numérica de las ecuaciones de Hamilton y resuelve algunas de las cuestiones del área. Revisamos y completamos trabajos previos de Channell, Ge, Marsden, Scovel y Weinstein. En el Capítulo 4 presentamos una teoría de Hamilton-Jacobi para estructuras almost-Poisson La meta principal es entender desde un punto de vista enteramente geométrico la teoría de Hamilton-Jacobi para sistemas no-holónomos desarrollada en [18, 40, 48]. El Capítulo 5 incluye algunas extensiones de Hamilton-Jacobi para tratar con lagrangianos singulares. Los lagrangianos singulares son comunes en la teoría clásica de campos y por ello entenderlos en el ámbito de la mecánica clásica parece el primer paso a tomar. Finalmente, discutimos las conclusiones y una perspectiva de trabajo futuroLeón Rodríguez, Manuel deDepartamento de MatemáticasFacultad de CienciasUAM. Instituto de Ciencias Matemáticas (ICMAT)20152015-11-27doctoral thesishttp://purl.org/coar/resource_type/c_db06NAhttp://purl.org/coar/version/c_be7fb7dd8ff6fe43info:eu-repo/semantics/doctoralThesisapplication/pdfhttp://hdl.handle.net/10486/669750reponame:Biblos-e Archivo. Repositorio Institucional de la UAMinstname:Universidad Autónoma de MadridEspañolspaInglésengopen accesshttp://purl.org/coar/access_right/c_abf2info:eu-repo/semantics/openAccessoai:repositorio.uam.es:10486/6697502026-06-23T12:46:27Z
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