Problemas de particionamento de grafos em árvores monocromáticas
In this work, we study the Partitioning Graphs into Monochromatic Trees (PGMT) problem. In this problem, an edge-coloured graph G with n vertices is given, and the goal is to find the smallest number of vertex disjoint monochromatic trees that cover all the vertices of G. First, we study the computa...
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| Formato: | tesis de maestría |
| Estado: | Versión publicada |
| Fecha de publicación: | 2021 |
| País: | Brasil |
| Recursos: | Universidade Federal de Minas Gerais (UFMG) |
| Repositorio: | Repositório Institucional da UFMG |
| Idioma: | portugués |
| OAI Identifier: | oai:repositorio.ufmg.br:1843/82526 |
| Acesso em linha: | http://hdl.handle.net/1843/82526 |
| Access Level: | acceso abierto |
| Palavra-chave: | Algoritmos Árvores monocromáticas Complexidade parametrizada Grafos Computação – Teses Algoritmos de computador – Teses Complexidade computacional – Teses Árvores (Teoria dos grafos) - Teses |
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Problemas de particionamento de grafos em árvores monocromáticasGraph partitioning problems in monochromatic treesAlgoritmosÁrvores monocromáticasComplexidade parametrizadaGrafosComputação – TesesAlgoritmos de computador – TesesComplexidade computacional – TesesÁrvores (Teoria dos grafos) - TesesIn this work, we study the Partitioning Graphs into Monochromatic Trees (PGMT) problem. In this problem, an edge-coloured graph G with n vertices is given, and the goal is to find the smallest number of vertex disjoint monochromatic trees that cover all the vertices of G. First, we study the computational complexity of this problem, in which we show that the PGMT is NP-complete when we consider some parameters such as: color frequency, maximum degree and number of colors; or when we restrict to the class of complete bipartite graphs where the number of trees is limited. We also show a lower bound for executing exact algorithms using the Exponential Time Hypothesis (ETH). More precisely, we show that there is δ > 0 such that PGMT cannot be resolved in time O(2δn), unless a ETH is false. As positive results, we present an algorithm of complexity O(n 2 ) when G is a tree and we also present an algorithm parameterized by the number of colors r and by the treewidth t of the input graph that runs in time O(n O(1)(r · t) 2t+1).Neste trabalho, estudamos o problema de Partição de Grafos em Árvores Monocromáticas (PGMT). Neste problema, é dado um grafo G, com n vértices, que está colorido nas arestas, e o objetivo é encontrar o menor número de árvores monocromáticas disjuntas nos vértices que cobrem todos os vértices de G. Primeiramente, estudamos a complexidade computacional desse problema, sobre a qual demonstramos que o PGMT é NP-completo quando consideramos alguns parâmetros como: frequência de cores, grau máximo e número de cores; ou quando restringimos à classe dos grafos bipartidos completos onde o número de árvores é limitado. Também demonstramos um limitante inferior para a execução de algoritmos exatos usando a Hipótese do Tempo Exponencial (ETH). Mais precisamente, demonstramos que existe δ > 0 tal que PGMT não pode ser resolvido em tempo O(2^δn), a menos que a ETH seja falsa. Como resultados positivos, apresentamos um algoritmo de complexidade O(n^2) quando G é uma árvore e apresentamos também um algoritmo parametrizado pelo número de cores r e pela largura arbórea t do grafo da entrada que executa em tempo O(n^O(1)(r · t)^(2t+1)).CAPES - Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível SuperiorUniversidade Federal de Minas GeraisBrasilICX - DEPARTAMENTO DE CIÊNCIA DA COMPUTAÇÃOPrograma de Pós-Graduação em Ciência da ComputaçãoUFMGVinicius Fernandes dos Santoshttp://lattes.cnpq.br/6270626469557436Phablo Fernando Soares MouraGuilherme Oliveira MotaJúlio César Silva Araújo2025-05-27T16:50:06Z2025-05-27T16:50:06Z2021-11-30info:eu-repo/semantics/publishedVersioninfo:eu-repo/semantics/masterThesisapplication/pdfhttp://hdl.handle.net/1843/82526porhttp://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/3.0/pt/info:eu-repo/semantics/openAccessreponame:Repositório Institucional da UFMGinstname:Universidade Federal de Minas Gerais (UFMG)instacron:UFMGDiego Rangel Piranga Costa2025-05-27T16:50:06Zoai:repositorio.ufmg.br:1843/82526Repositório InstitucionalPUBhttps://repositorio.ufmg.br/oairepositorio@ufmg.bropendoar:2025-05-27T16:50:06Repositório Institucional da UFMG - Universidade Federal de Minas Gerais (UFMG)false |
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In this work, we study the Partitioning Graphs into Monochromatic Trees (PGMT) problem. In this problem, an edge-coloured graph G with n vertices is given, and the goal is to find the smallest number of vertex disjoint monochromatic trees that cover all the vertices of G. First, we study the computational complexity of this problem, in which we show that the PGMT is NP-complete when we consider some parameters such as: color frequency, maximum degree and number of colors; or when we restrict to the class of complete bipartite graphs where the number of trees is limited. We also show a lower bound for executing exact algorithms using the Exponential Time Hypothesis (ETH). More precisely, we show that there is δ > 0 such that PGMT cannot be resolved in time O(2δn), unless a ETH is false. As positive results, we present an algorithm of complexity O(n 2 ) when G is a tree and we also present an algorithm parameterized by the number of colors r and by the treewidth t of the input graph that runs in time O(n O(1)(r · t) 2t+1). |
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