Integrabilidade segundo Darboux de sistemas que descrevem aplicações harmônicas.
O objetivo deste trabalho é estudar a integrabilidade segundo Darboux de alguns sistemas diferenciais exteriores de Euler-Lagrange que geometricamente descrevem aplicações harmônicas. Em particular, consideramos as aplicações harmônicas do espaço de Minkowski bidimensional para variedades Riemannian...
| Autor: | |
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| Tipo de recurso: | tesis de maestría |
| Estado: | Versión publicada |
| Fecha de publicación: | 2024 |
| País: | Brasil |
| Institución: | Universidade Federal da Bahia (UFBA) |
| Repositorio: | Repositório Institucional da UFBA |
| Idioma: | portugués |
| OAI Identifier: | oai:repositorio.ufba.br:ri/40468 |
| Acceso en línea: | https://repositorio.ufba.br/handle/ri/40468 |
| Access Level: | acceso abierto |
| Palabra clave: | CNPQ::CIENCIAS EXATAS E DA TERRA::MATEMATICA Integrabilidade segundo Darboux Aplicações harmônicas Sistemas diferenciais exteriores Formalismo variacional de Poincaré-Cartan Wave maps Darboux Integrability Poincaré-Cartan variational formalism Harmonic maps |
| Sumario: | O objetivo deste trabalho é estudar a integrabilidade segundo Darboux de alguns sistemas diferenciais exteriores de Euler-Lagrange que geometricamente descrevem aplicações harmônicas. Em particular, consideramos as aplicações harmônicas do espaço de Minkowski bidimensional para variedades Riemannianas bidimensionais e provamos que, localmente, e a menos de isometrias, os sistemas deste tipo que são integráveis segundo Darboux com até 1-prolongamento são somente 4. Classificamos portanto, a menos de transformações de ponto, os correspondentes sistemas hiperbólicos de equações diferenciais a derivadas parciais de Euler-Lagrange. O trabalho se subdivide em cinco capítulos. No Capítulo 1, revisamos as principais preliminares, dentre as quais a teoria dos fibrados, dos espaços de jatos e dos sistemas diferenciais exteriores. Em particular, apresentamos a noção de integrabilidade segundo Darboux de um sistema diferencial exterior. No Capítulo 2, apresentamos o formalismo variacional de Poincaré-Cartan, introduzindo conceitos fundamentais para este estudo, dentre os quais a geometria de multicon- tato e a forma de Poincaré-Cartan. No Capítulo 3, calculamos o sistema diferencial exterior de Euler-Lagrange para aplicações harmônicas entre variedades pseudo-Riemannianas. No Capítulo 4, restringimos e adaptamos os cálculos do Capítulo 3 às aplicações harmônicas do espaço de Minkowski bidimensional para variedades Riemannianas bidimensionais. Estudamos então a integrabilidade segundo Darboux dos sistemas diferenciais exteriores de Euler-Lagrange que descrevem essas aplicações, e encontramos assim condições para a integrabilidade segundo Darboux desses sistemas em termos da curvatura de Gauss das variedades de contradomínio das aplicações harmônicas. Finalmente, no Capítulo 5, elucidando os resultados de classi- ficação obtidos por R.Ream, J.N. Clelland e P.J. Vassiliou, classificamos as métricas e os sistemas de equações diferenciais das correspondentes aplicações harmônicas, para os quais os sistemas diferenciais exteriores de Euler-Lagrange são integráveis segundo Darboux com até 1-prolongamento. |
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